例谈基底法在立体几何解题中的应用

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1、万方数据上海中学数学·2014年第1l期例谈基底法在立体几何解题中的应用(2014辽宁理一19)如图1，AABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB—BC一量D=2，么ABC=么DBC=120。，E、F分别为AC、DC的中点．(1)求证：EF上BC；(2)求二面角E_BF_C的正弦值．200434上海市北虹高级中学徐力A图1C参考答案中给出了两种解答，一种是几何综合法，另一种是建立空间直角坐标系的向量坐标法．然而此题在建系时，三条互相垂直的坐标轴并非一目了然，需要学生添加若干辅助线方能成功．有没有其他较为简洁的方法呢?由空间向量分解定理可知，如果三个向量口，b，；不共面，那么对于空间任意向

2、量p，存在唯一的实数对z，Y，z满足P—za+Yb+zc．其中盘，b，C为空间向量的基向量．空间的一组基向量构成的整体叫做空间的基底．于是，可以试图寻找空间中三个不共面的基向量，通过基底法，在不建立坐标系的状态下解决这个问题．具体步骤如下．解：(1)设歃一三，商一若，费=：为三个不共面的基向量，。．．茸=妻商一妻(弓一三)，葡一：，．．．E--P．豌=丢(丢一：)·-c—百1-6·j一丢三·j一丢旧两cosl20。一丢闭㈣cosl20。=o，．．．茸l前．(2)过E作BC的垂线，垂足为G，连接EG，FG．’．．面ABC上面BCD，且EG上BC，．．．吼面BCD且您在面BCD中，．．．船上

3、FG．·．·FG：EG：EC：√-73，Ac／奴八蟛＼x+y--2=O7_7、＼。2弋／?图1评析：由m=三鲁帛的形式，联想到直线距．·．AD：2EF：2×抠×辱一万，．‘．在AABD中，COS么ABD=2z+2z一∥一—西忑万一寺，．．·n。b一⋯lblcosLABD=2X2X专一1，设面BEF的法向量为云=za—q-y若-I-z—C，且碲专告(否+；)，魂=丢(三+；)，厶．．『一U．碲；o．Ib科y6+“×6+o言：0‘m髓一。一’1(z云+y舌+z孑)(云+；)百1：o’L一．f2x--Y+2z=0一I：--x+2y+2z=O。令z一1，则y一1，z=一寺．．．．u=a-q-6一

4、÷c．设面BCD的法向量为孑=蔬=苟+蔬=}髓+专魂=导；+丢(三一西一丢：+丢；．御=(：+丢～丢；)2_15，．．·㈣一瓜I；I2=(丢三+丢；)2=3，···l；I—vS．．‘．co而面=褊=丽3一譬，．。．二面角E-BF-C的正弦值为气当．J向量坐标法在解决立体几何问题时的确彰显了它的优越性．上海教育出版社高三年级理科拓展教材对空间向量的坐标法有着详细的介绍和例题讲解．教师在对理科生授课时，也是十分强调坐标法的应用．在解题时，学生习惯了坐标法以定量计算代替离的比值，利用数形结合的方法将一个函数最值问题成功地转化为距离的比值来处理，使问题得以突破．从解析几何的视角，将问题转化为师生

5、熟知的斜率或距离处理，解法6出乎意料却又在情理之中，具有一定的创造性．在教与学的过程中，一题多解与一题多变同样重要．多元变量最值问题的处理方法是多种多样的，师生要在解题中充分利用好题目中的原始条件，结合一些常见的思想方法，从不同视角、用不同的知识处理这类问题，避免简单地重复或类比．万方数据上海中学数学·2014年第ll期定性分析，用机械化算法代替繁琐论证．可是，学生经常还会遇到这样的问题：空间几何图形本身不具备明显的垂直关系，空间直角坐标系不易建立，点坐标不容易求出等等．此时，向量基底法就是一个不错的选择．以上辽宁卷19题的解答过程就是有力的例证．坐标法是基底法的一种特例，合理地选择向量

6、基’底法可以使问题更简洁明快地得到解决．下面结合例题说明基底法在立体几何解题中的应用．应用一：证明立体几何定理性质在立体几何的教学中，一些定理性质的证明比较繁琐．教师在课堂上花费了不少时间讲解，但是效果往往不甚理想．如果适当引用基底法，引导学生进行定理性质证明，一定程度上可以改善教学效果．例1线面垂直的判定定理：已知直线Z垂直平面口内两条相交直线a，b．求证：直线Z上a．证明：设直线l，a，b的方向向量分别为竹，口，b，则对于平面内任意一条直线C，设其方向向量为c．’．．a与b不平行，由平面向量的分解定理可知，存在z，Y满足C—za+Yb，。．‘Zj_a，lib，．．．，z·a=竹·b_

7、--0，．。．竹·c----一'n·(za+yb)一z挖·口+y行·b=O，．’．Z上C，．’．1_La．例2求证：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行．即：已知直线a，b都垂直于平面口，求证：a／／b．证明：设直线a，b的非零方向向量是a，b．在平面口内任取一组互不共线且夹角为口(口≠O)的单位向量U，可，则U，u，a构成空间一组不共面的基向量．由空间向量分解定理可知，存在z，y，z满足b=zU+yu+za．··Ⅵ“甜≯