无穷小及其应用

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1、.-无穷小及其应用杜雪梅〔西华师大学数学与信息学院，〕【摘要】无穷小量在分析学的早期开展中起着不可或缺的作用,它是大学数学中最重要的概念之一。无穷小量在很多方面都有着广泛的应用，譬如判断级数的敛散性、广义积分、求函数的极限运算等，它的存在推动了数学科学的开展。本文提出无穷小量的重要性，并从其定义出发，阐述无穷小量的相关概念，归纳总结了它的根本性质并加以说明，同时通过理论讲述和具体实例相结合的方式展示了无穷小量在各个方面的运用，从而帮助读者更好的理解无穷小并掌握其应用。【关键词】无穷小量；极限；正项级数；广义积分；小量分析Abstract:Infinitesim

2、alplaysanintegralroleintheearlydevelopmentofanalytics,itistheuniversityoneofthemostimportantmathematicalconcepts.Infinitesimalinmanywayshaveawiderangeofapplications,suchasjudgmentofconvergenceanddivergenceofseries、generalizedintegrals、limitsofoperationandotherfunctions,itsexistencep

3、romotedthedevelopmentofmathematicalsciences.Inthispapertheimportanceofinfinitesimal,andfromitsdefinition,describesrelatedconceptsofinfinitesimal,summarizesitsbasicpropertiesandexplained,binedwithaboutthetheory..word.zl-.-andexamplesshowapplicationofInfinitesimalinallaspects,soastohe

4、lpthereadersbetterunderstandinfinitesimalandmastertheapplication .Keywords:Infinitesimal;limit;PositiveSeries;generalizedintegral;asmallamountofanalysis一、概述17世纪，无穷小量随着近代力学的需要登上了历史的舞台。然而，作为分析学的根底，无穷小以其无限的神秘带给了数学界几百年来剧烈的争论，终于在19世纪，柯西—最伟大的数学家之一，把微积分建立在极限的根底上，使微积分体系“严密〞化，从而揭开了数学严格化运动的序幕

5、。于是，极限概念成为微积分的理论根底，其中几个重要概念如导数、积分、级数都是用极限来定义的，因此极限概念对于微积分的重要性怎么强调都不为过。正如极限对于微积分，无穷小在极限中扮演者同等重要的角色，这是因为所有极限的讨论都可以归结到无穷小，所以充分而全面的理解无穷小且良好掌握其应用，对于学好极限以至微积分都有着至关重要的作用。二、无穷小量的相关容㈠无穷小量的概念1.设{an}为数列，如果对于任意给定的正数ε,都存在正整数N，使得当n>N时，不等式

6、an

7、<ε成立，即当n→∞时，数列an的极限为0，那么称{an}是无穷小数列。【1】2.与无穷小数列相类似，设函数f

8、在某U0(x0)上有定义。假设..word.zl-.-,那么称f为当x→x0时的无穷小量。【2】3.柯西利用严格的极限理论，明确指出了无穷小量是以0为极限的变量。其本质是，无穷小量是一个变量，它是针对自变量的某变化过程而言的，在该过程中无穷小的极限为0，就其绝对值而言，可以小于任意一个给定的正数ε，换言之它可以无限地接近于0。【3】简而言之，极限为0的变量称为无穷小量。4.理解无穷小的定义时，需注意以下几点：〔1〕这里的极限，包括数列极限与六种形式的函数极限，用数学符号来表示，即；〔2〕无穷小量是变量，而不能理解为一个很小的量；〔3〕在常数中，只有数0可视为无

9、穷小量，但无穷小量不一定是0；〔4〕无穷小量是相对某个极限过程而言。〔二〕无穷小量阶的比拟从前面无穷小量的定义可清楚知道，无穷小量是以0为极限的函数，然而不同的无穷小量收敛于0的速度却是不同的，有的快有的慢。我们可以通过考察两个无穷小量的比，来对它们的收敛速度作出判断。定义：设当x→x0时，函数f(x)与g(x)都是无穷小量，且=A.（1）假设A=0，即x→x0时f趋于0的速度比g快，就称g为f的低阶无穷小量，或称当x→x0时f为g的高阶无穷小量，记作f(x)=o(g(x))(x→x0);（2）假设存在正数K和L，使得在点x0的某个空心领域上有K≤

10、..wor

11、d.zl-.-

12、≤L，那么称f与g是当