一类无穷小（大）量的判别法及其应用

《一类无穷小（大）量的判别法及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、V01．13，No．5高等数学研究Sept．，2010STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICS27一类无穷小(大)量的判别法及其应用冯录祥，阎恩让(宝鸡文理学院数学系，陕西宝鸡，721013)摘要将级数敛散性判别法中的D’Alembert和Cauchy判别法移植到无穷小(大)数列上。可得到关于无穷小(大)数列的D’Alembert和Cauchy判别法，从而解决无穷小(大)数列的判别问题．关键词无穷小数列；无穷大数列；D’Alembert判别法；Cauchy判别法中圈分类号O172在级数敛散性中有一个众所周知的结论，即级数当<1时，取收敛的必要条件引：e=：=>0，如果级数’∑n收

2、敛，那么liran一0．那么，这一结论说明，当∑a收敛时，数列{)是无10+一<1．穷小数列．而∑n是否收敛，完全地由数列{n)自于是存在N，当7z≥N时，有身的特性决定．本文以级数收敛的必要条件为理论工具，将把级f等f<．o十e，数敛散性判别法中的D’Alembert和Cauchy判别法也即移植到无穷小(大)数列上，得到了关于无穷小(大)Ia-I<(p+￡)Iaf．数列的D’Alembert和Cauchy判别法，方便地解决从而，任给m∈Z+，有了有关无穷小(大)数列的判别问题，特别是有关零In+J<：(』D十e)laI，极限的证明问题，极大地方便了教学．In+zI<(ID+s)}口Ⅳ】I，定

3、理1(D’Alembert)对数列{口}(口≠O)，若一∞IlanIl—P’，la+I<(1D+e)f口I，由0<+￡<1，故一。。时，有贝0当p<1时，(JD+￡)』以I一0，lima一0；由迫敛性定理，而当p>1时，limlaⅣ_+f=0，lima：O43．于是址明由于lima一0．H—o。l“Hf=．o，当p>1时，取所以，任给￡>0，存在N，当≥N时，有e一>O，ffl_PI1．P一

4、者简介：冯录祥(1954-)，男，陕西扶风人，教授，主要从事常微分方(

5、0一￡)lnI<：Jn，r卜J，程研究．Email：fengluxiang@126．com；从而，任给m∈z+，有阎恩让(1956-)，男，陕西蓝田人，教授，主要从事常微分方(1D—e)『以。I<：I。+-f，程研究工作，Email；eryan418@tom．com．28高等数学研究2OlO年9月(ID一￡)。l“1，故当一c-℃时，有由定理l知(10一￡)tn。{一。。．limn0”一0于是例3求下列极限：lira

6、JaN，+，J===∞，所以，．(1)lim(1+。，(2)一lim一Y／”，(3)lim一～，‘—!1ima一∞．解(1)因为定理2(Cauchy)对数歹(}，若lim=limlira一p，n+∞一。。瓣贝0当p<1时，lima一0；一∞故而当口>1时，由lima一。。。定与定理1的证明相仿，故此从略．2j悃知为注在定理1及定理2中，当p=1时，无法判别l{=．llimI一1im干±鬲!．。：一：：数列(a)是无穷小(大)数列，这时需运用其它方法．定理1及定理2用以判别无穷小(大)数列十分⋯Jim(7l1)“

7、有由定理1知关用N方法处理的零极限证明问题其作用更加突lim一0．出．下举几例说明．值得指出的是，这些题目若用其它。。方法大都比较繁杂．1上(3●)．因为例1证明下列极限：j一一lim·劳一(1)lim(2)-0(>1)．⋯，r，∞赢十I一o<1，证明(1)由于由定理1知ff一⋯lim·一．lim=0．·()一0·e—o<，例4证明下列极限：于是由定理1知(1)mli()==：o；O．(2)lim一+。。．n一。。I(2)由于>1，址明(1)凼为一。。fIa”fI一⋯ln一im。。⋯·Zn!一玎一√()”一lim±一o<1，一专<，由定理1知由定理2知lim：o．()一o，例2证明极限：(2)

8、因为limnq“一0(>0，fqi<1)．证明由于jJ=⋯lim而2n-l-1=2>1，第13卷第5期冯录祥，阎恩让：一类无穷小(大)量的判别法及其应用29由定理l知(一)”一。lim：：曼：：：：：呈二!例7[设{“)是正项数列，例5[。]设{a，}是等差数列，其首项是n。，公差是d，且nl≥d>0．求证：=∑lim竺：：：一0如果．一。。a：lim—5,v—~-I一2证明不妨记，>0，，r’∞