1978年全国统一高考数学试卷

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1、1978年全国统一高考数学试卷　一、解答题（共11小题，满分120分）1．（4分）将多项式x5y﹣9xy5分别在下列范围内分解因式：（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．　2．（4分）已知正方形的边长为a，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积．　3．（4分）求函数的定义域．　4．（4分）不查表求cos80°cos35°+cos10°cos55°的值．　5．（4分）化简：　6．（14分）已知方程kx2+y2=4，其中k为实数对于不同范围的k值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图．　7．（14分）如图，AB是半圆的直径，C是

2、半圆上一点，直线MN切半圆于C点，AM⊥MN于M点，BN⊥MN于N点，CD⊥AB于D点．求证：（1）CD=CM=CN；（2）CD2=AM•BN．　8．（12分）已知：18b=5，log189=a（a≠2）求log3645．　9．（20分）已知△ABC的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=求角A，B，C的大小，又已知顶点C的对边c上的高等于，求三角形各边a，b，c的长．（提示：必要时可验证）　10．（20分）已知：α，β为锐角，且3sin2α+2sin2β=1，3sin2α﹣2sin2β=0．求证：．　11．（20分）已知函数y=x2+（2m+1）x+m2﹣1（m为实数）（1）m是什

3、么数值时，y的极值是0？（2）求证：不论m是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L1上．　1978年全国统一高考数学试卷参考答案与试题解析　一、解答题（共11小题，满分120分）1．（4分）将多项式x5y﹣9xy5分别在下列范围内分解因式：（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．考点：虚数单位i及其性质．专题：计算题．分析：直接根据（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．的要求，分解因式即可．解答：解：（1）x5y﹣9xy5=xy（x2+3y2）（x2﹣3y2）．（2）x5y﹣9xy5=xy（x2+3y2）（x+y）（x﹣y）．（3）x5y﹣9xy5

4、=xy（x+yi）（x﹣yi）（x+y）（x﹣y）．点评：本题考查实数系与数系的扩充，考查学生的基础知识，是基础题．　2．（4分）已知正方形的边长为a，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；综合法．分析：由题设，设圆柱体的半径为r，由于侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长，即2πr=a，由此方程求得半径，再由直圆柱体的体积公式求体积即可．解答：解：设底面半径为r，直圆柱体的高为h因为侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长所以有底面周长2πr=a，h=a，解得，由公式圆柱体体积V=πr2h=

5、．答：直圆柱体的体积的体积是点评：本题考查正方形的面积公式与圆柱体的侧面积公式以及体积公式，是考查基本公式掌握熟练程度的一道题．　3．（4分）求函数的定义域．考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：使函数的分母不为0，对数的真数大于0，偶次根式被开放数非负．解答：解：由题意知：x﹣1＞0且2﹣x＞0解得1＜x＜2．故函数定义域为（1，2）．点评：本题求将对数、根式、分式复合在一起的综合型函数的定义域，注意取交集．　4．（4分）不查表求cos80°cos35°+cos10°cos55°的值．考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：先利用诱导公式使原式等

6、于sin10°cos35°+cos10°sin35°，进而利用两角和公式化简整理，最后利用特殊角求得答案．解答：解：原式=sin10°cos35°+cos10°sin35°=sin（10°+35°）=sin45°=点评：本题主要考查了两角和公式，诱导公式的化简求值．属基础题．　5．（4分）化简：考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．分析：根据指数的运算性质逐步进行化简，求值即可得到答案．解答：解：原式==2•=点评：指数式的化简关键是熟练掌握指数的运算性质：①ar•as=ar+s（a＞0，r，s∈R）．②（ar）s=ar•s（a＞0，r，s∈Q）．③（a•b）r=ar•br（a＞

7、0，b＞0，r∈Q）．　6．（14分）已知方程kx2+y2=4，其中k为实数对于不同范围的k值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题．分析：（1）k=1，方程的图形是圆半径为2，当k＞1且k≠时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，长轴在y轴上；当1＞k＞0时方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，长轴在x轴上（2）k=0时，方程为y2=4，图形是两条平行于x轴的直线y=±2（3））k＜0时，这时图形是双