1964年全国统一高考数学试卷

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1、1964年全国统一高考数学试卷　一、解答题（共9小题，满分0分）1．化简．　2．甲乙两人在P点的河对岸的D点，甲向东走，乙向西走，甲每分钟比乙多走a米，10分钟后，甲看P在北α度西，乙看P在北β度东，求PD．　3．解方程x4+1=0，并证明它的四个根为一个正方形的四个顶点　4．求证：在△ABC中，其中α，β，γ是三角形的内角，．　5．已知x3+mx2﹣3x+n=0的三根的平方和为6，且有两个相等的正根，求m、n．　6．圆台形铁桶的上底半径是10cm，下底半径是15cm，母线是30cm将铁桶的侧面沿一条母线剪开，铺平如图中的扇形铁片

2、ABCD，求AB间的距离．　7．已知空间四点A、B、C、D和两平面M、N，又知A、B、C、D在M内的射影A1B1C1D1是一条直线，在N内的射影A2B2C2D2是一个平行四边形，求证ABCD是一个平行四边形．　8．如图，已知正方形的边长为1，在正方形ABCD中有两个相切的内切圆．（1）求这两个内切圆的半径之和；（2）当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最小值？当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最大值？　9．第8题的题干为：如图，已知正方形的边长为1，在正方形ABCD中有两个相切的内切圆．（1）求这两个内切圆的半径之和；（

3、2）当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最小值？当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最大值？变式（1）在第8题中，若正方形改为矩形，情况又如何？（2）在第8题中，若正方形改为正方体，圆改为球，情况如何？　1964年全国统一高考数学试卷参考答案与试题解析　一、解答题（共9小题，满分0分）1．化简．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：计算题．分析：将负指数化为正指数；将根式化为分数指数幂，利用幂的运算法则化简；将分子、分母同乘以，将分母有理化．解答：解：原式=．点评：本题考查化简时一般先将负指数化为正指数，根式化为分数指数幂，

4、再利用幂的运算法则求值．　2．甲乙两人在P点的河对岸的D点，甲向东走，乙向西走，甲每分钟比乙多走a米，10分钟后，甲看P在北α度西，乙看P在北β度东，求PD．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：设出乙的速度，则可依题意表示出甲的速度，分别在直角△PBD和直角△PAD中求得PD建立等式，化简整理后代入PD=10v•cotβ中求得答案．解答：解：设乙的速度为v，则甲的速度为v+a．在直角△PBD中，PD=10v•cotβ在直角△PAD中，PD=10（v+a）cotα10v•cotβ=10（v+a）cotαv=．代入PD=10

5、vcotβ=．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力．关键是建立三角函数的模型，利用三角函数的性质来解决．　3．解方程x4+1=0，并证明它的四个根为一个正方形的四个顶点考点：根的存在性及根的个数判断；复数的基本概念．专题：计算题；证明题．分析：将﹣1写为复数的三角形式，由方程的复数跟的表达式直接求出四个根，再由复数的几何意义找出复数在复平面内对应的点，进行证明即可．解答：解：∵x4=﹣1=cosπ+isinπ，∴x=cos，k=0，1，2，3．x1=cos．x2=cos．x3=cos．x

6、4=cos．在复平面内（x为实轴，y为虚轴）分别用A、B、C、D四点来表示四个根x1、x2、x3、x4（如图）即A（），B（﹣），C（﹣），D（）∵A、B关于y轴对称，A、D关于x轴对称，∴∠A=90°，同理，∠B=∠C=∠D=90°且

7、AB

8、=

9、BC

10、=

11、CD

12、=

13、DA

14、=．∴ABCD是正方形，而A、B、C、D是顶点．点评：本题考查方程的复数跟的求解、复数的三角形式、复数的几何意义等知识，考查计算能力．　4．求证：在△ABC中，其中α，β，γ是三角形的内角，．考点：余弦定理；正弦定理．专题：证明题．分析：利用三角形的正弦定理将三

15、角形的三边用角的正弦表示；利用余弦定理将等式中的余弦用边表示，等式得证．解答：证：设R为△ABC的外接圆的半径，则由正弦定理可得，a=2Rsinα，b=2Rsinβ，c=2Rsinγ．代入余弦定理中，则可得=．故成立．点评：本题考查利用三角形的正弦定理、余弦定理证明三角函数中的边、角的恒等式．　5．已知x3+mx2﹣3x+n=0的三根的平方和为6，且有两个相等的正根，求m、n．考点：根的存在性及根的个数判断；一元n次方程根与系数的关系．专题：计算题．分析：由一元三次方程根与系数的关系，我们根据方程有两个相等的正根，可将方程的三根设

16、为α，β，β，且β＞0，从而得到一个四元方程组，利用乘法公式处理后，即可得到m、n的值．解答：解：设方程的三根为α，β，β，且β＞0．由根与系数的关系及题设有由（4）﹣2•（2）得α2﹣αβ=12（5）（1）式平方得α2+4αβ+4β2=m2（6）