1963年全国统一高考数学试卷

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1、1963年全国统一高考数学试卷　一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）已知，求的值．　2．（10分）已知复数求．（1）求它的模及辐角；（2）作出图，把这图反时针方向转150°，求这时的复数．　3．（10分）如图，AD、AE、CB都是⊙O的切线，AD=4，则△ABC的周长是　_________　．　4．（10分）在一个二面角内有一点，过这点分别作两个平面的垂线，求证棱垂直于这两条垂线所决定的平面．　5．（10分）根据对数表求23.28﹣101的值．　6．（10分）解方程sin3x﹣sinx+c

2、os2x=0．　7．（10分）在实数范围内解．　8．（10分）已知1、2、3、4、7、9六个数．（1）可以组成多少没有重复数字的五位数；（2）其中有多少个是偶数；（3）其中有多少个是3的倍数．　9．（10分）如图是某市晚报记者在抽样调查了一些市民用于读书、读报、参加“全民健身运动”等休闲娱乐活动的时间后，绘制的频率分布直方图（共六组），已知从左往右前五组的频率之和为0.94，如果第六组有12个数，则此次抽样的样本容量是　_________　．　10．（10分）半径为1的球内切于圆锥（直圆锥），已知圆锥母线

3、与底面夹角为2θ．（1）求证：圆锥的母线与底面半径的和是；（2）求证：圆锥全面积是；（3）当θ是什么值时，圆锥的全面积最小？　1963年全国统一高考数学试卷参考答案与试题解析　一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）已知，求的值．考点：同角三角函数基本关系的运用．分析：对分子分母同时除以cosθ即得答案．解答：解：∵，∴cosθ≠0，将原式分子与分母除以cosθ，则．点评：本题主要考查tanθ=，这种题型在考试中经常遇到，要引起注意．　2．（10分）已知复数求．（1）求它的模及辐角；（2）作出

4、图，把这图反时针方向转150°，求这时的复数．考点：复数的基本概念；复数求模．分析：（1）把复数的代数形式化为三角形式，得到复数的模和夹角，注意三角形式的写法．（2）本题可以采用作图法来解决，这样思路清晰，也可以通过旋转来解决，会用到特殊角的三角函数值，不要出错．解答：解：（1）1+=2（cos+isin），∴r=2∴；（2）由图可知，复数沿反时针方向转150°后，得到的复数为．点评：本题是对复数两种形式的考查，要对复数的两种形式变换自如，这种题目一般不会出成解答题，而是以选择和填空形式出现．　3．（10

5、分）如图，AD、AE、CB都是⊙O的切线，AD=4，则△ABC的周长是　8　．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：根据切线长定理，将△ABC的周长转化为切线长求解．解答：解：设⊙O与BC相切于点F，根据切线长定理得：AE=AD，CE=CF，BD=BF，∴△ABC的周长=2AD=8．故填：8．点评：本题考查了与圆有关的线段，主要考查了切线长定理的应用．是容易题．　4．（10分）在一个二面角内有一点，过这点分别作两个平面的垂线，求证棱垂直于这两条垂线所决定的平面．考点：直线与平面垂直的性质．专题：证

6、明题．分析：欲证CD⊥面APB，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证CD与面APB内两相交直线垂直，而PA⊥平面α，则PA⊥CD，PB⊥平面β，则PB⊥CD，而PA∩PB=P，满足定理条件．解答：证：∵PA⊥平面α，∴PA⊥CDPB⊥平面β，∴PB⊥CD．而PA∩PB=P故CD垂直于由PA，PB所决定的平面．点评：本题主要考查了直线与平面平行的性质．应熟练记忆直线与平面平行的性质定理，属于中档题．　5．（10分）根据对数表求23.28﹣101的值．考点：对数的运算性质．专题：计算题；综合题．分析：根据对

7、数的运算性质，直接求对数值，然后查对数表，求出求23.28﹣101的值．解答：解：lg23.28﹣101=﹣101lg23.28=﹣101×1.3670=﹣138.0670=+1﹣0.0670=．∴23.28﹣101=10﹣139×8.570=8.570×10﹣139．点评：本题考查对数的运算性质，是基础题．　6．（10分）解方程sin3x﹣sinx+cos2x=0．考点：两角和与差的正弦函数．专题：常规题型．分析：先由3x=x+2x根据两角和与差的正弦公式化简得到cos2x（2sinx+1）=0，再分别

8、令cos2x=0、2sinx+1=0可得答案．解答：解：sin3x﹣sinx+cos2x=0，2cos2x•sinx+cos2x=0，cos2x（2sinx+1）=0，由cos2x=0，2x=2kπ+，x=kπ±．（k为整数）由2sinx+1=0，sinx=﹣，x=kπ+（﹣1）k（﹣）=kπ+（﹣1）k+1．（k为整数）点评：本题主要考查两角和与差的正弦公式．属中档题．三角函数部分公式比较多不容易记，要给予重视，　7．（10