1951年全国统一高考数学试卷

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1951年全国统一高考数学试卷参考答案与试题解析　一、解答题（共24小题，满分0分）1．设有方程组，求x，y．考点：二元一次不等式组；不定方程和方程组。专题：计算题。分析：通过将两个式子相加求出x，将x的值代入一个方程求出y得到不等式组的解集．解答：解：两式相加得x=5将x=5代入①得y=3∴方程组的解为．点评：本题考查在解方程组组时常用的方法是加减消元法与代入消元法．2．若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？考点：三角形的形状判断。专题：探究型。分析：利用等腰三角形的中线与高重合，得到AF、BE、CD为三角形的高；利用全等三角形的判定定理得到两边相等，判断出三角形的形状．解答：证明：设△ABC的重心与外接圆的圆心均为O（如图）∵OA=OC，E为AC的中点，∴BE⊥AC；同理，CD⊥AB，AF⊥BC在Rt△ABE与Rt△ACD中，∠A为公共角，BE=CD=R+R=R（R为外接圆半径），所以△ABE≌△ACD，AB=AC，同理可得AB=BC由此可知△ABC为等边三角形．点评：本题考查三角形的外心的性质、重心的性质、三角形全等的判定定理、据三角形的边角的关系判断出三角形的形状．3．当太阳的仰角是60°时，若旗杆影长为1丈，则旗杆长为若干丈？ 考点：三角形中的几何计算。专题：计算题。分析：把旗杆的影子和旗杆为两直角边建立数学模型，通过解三角形求解．解答：解：旗杆长为：1×tan60°=丈．故旗杆长为丈点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了分析问题和解决问题的能力．4．若，而a，b，c各不相等，求x+y+z的值．考点：二元一次不等式组。专题：计算题。分析：本题根据，设出=t，从而将x，y，z用a，b，c，t来表示即可解答：解：设=t，则有x=（a﹣b）t，y=（b﹣c）tz=（c﹣a）t由此可得：x+y+z=（a﹣b）t+（b﹣c）t+（c﹣a）t=0．点评：本题考查了换元的解题思想方法，属于基础题．5．试题10道，选答8道，则选法有几种？考点：组合及组合数公式。专题：计算题。分析：利用组合表示完成事件的方法数；利用组合数的性质及组合数公式求出值．解答：解：从试题10道，选答8道，选法有C108={C}_{10}^{2}=frac{10×9}{1×2}=45．答：选法有45种．点评：本题考查求完成事件的方法数常用组合、排列；考查组合数的性质、组合数公式．6．若一点P的极坐标是（r，θ），则它的直角坐标如何？考点：点的极坐标和直角坐标的互化。专题：计算题。分析：利用x=ρcosθ，y=ρsinθ．直接求出点P的极坐标是（r，θ）的直角坐标，即可．解答：解：由题意可知x=rcosθ，y=rsinθ．所以点P的极坐标是（r，θ）的直角坐标为：（rcosθ，rsinθ）．点评：本题是基础题考查极坐标与直角坐标是转化，考查计算能力．7．若方程x2+2x+k=0的两根相等，则k=？考点：二次函数的性质。专题：计算题。分析：由二次方程根的知识，只要△=0即可．解答：解：由△=b2﹣4ac=0，得k=1；故k=1．点评：本题考查二次方程跟和系数的关系，属基础知识的考查．8．列举两种证明两个三角形相似的方法． 考点：相似三角形的判定。专题：阅读型。分析：用来证明两个三角形相似的方法有三边对应成比例，两边对应成比例且夹角相等，这些方法都可以判断两个三角形相似．解答：解：三边对应成比例，两个三角形相似，两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．点评：本题考查两个三角形相似的方法，考查列举几种方法，这是一个总结知识点的题目，是一个基础题．9．当（x+1）（x﹣2）＜0时，x的值的范围如何？考点：一元二次不等式的解法。专题：计算题。分析：根据两数相乘，异号得负，把原不等式化为x+1大于0且x﹣2小于0，或x+1小于0且x﹣2大于0，即可得到原不等式的解集．解答：解：（x+1）（x﹣2）＜0可化为：或，解得：﹣1＜x＜2．点评：此题考查了一元二次不等式的解法，考查了转化的数学思想，是一道基础题．10．若一直线通过原点且垂直于直线ax+by+c=0，求直线的方程．考点：直线的一般式方程。专题：待定系数法。分析：根据垂直关系设所求的直线的方程为bx﹣ay+m=0，把原点的坐标代入解得m值，从而得到所求的直线的方程．解答：解：设所求的直线的方程为bx﹣ay+m=0，把原点的坐标代入解得m=0，故所求的直线的方程为：bx﹣ay=0．点评：本题考查两直线垂直的性质，与直线ax+by+c=0垂直的直线的方程一定为bx﹣ay+m=0的形式．11．（x+）6展开式中的常数项如何？考点：二项式定理。专题：计算题。分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出展开式的常数项．解答：解：展开式的通项为Tr+1=C6rx6﹣2r令6﹣2r=0得r=3故展开式的常数项为T4=20． 点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．12．cos2θ=0的通解是什么？考点：二倍角的余弦。专题：计算题。分析：直接利用特殊角的三角函数，求出cos2θ=0的通解，即可．解答：解：因为cos2θ=0，所以2θ=2kπ+，k∈Z，即：θ=kπ±．（k为整数）点评：本题是基础题，考查三角函数的求解，特殊角的三角函数，考查计算能力．13．系数是实数的一元三次方程，最少有几个根是实数，最多有几个根是实数？考点：根的存在性及根的个数判断；一元n次方程根与系数的关系。专题：阅读型。分析：利用三次函数的值域为（﹣∞，+∞），结合实际例子，得出结论．解答：解：由于三次函数的值域为（﹣∞，+∞），故系数是实数的一元三次方程最少有一个实数根，最多有三个实数根．如方程x3=0，只有一个实数根是x=0；如方程x（x﹣2）（x﹣3）=0，有三个实数根是x=0，x=2，x=3．点评：本题考查系数是实数的一元三次方程实数根的个数判断方法，体现了分类讨论的数学思想．14．求的值．考点：二阶矩阵；三阶矩阵。专题：计算题。分析：根据求行列式的方法化简即得．解答：解：=（﹣2）•0•3+4•5•5+（﹣5）•4•5﹣5•0•5﹣5•4•（﹣2）﹣4•（﹣5）•3=100．点评：考查学生掌握行列式化简方法的能力．属于基础题．15．x2﹣4y2=1的渐近线的方程如何？考点：双曲线的简单性质。专题：计算题。分析：根据双曲线渐近线方程的求法，结合题意，直接计算可得答案．解答：解：根据题意，双曲线的方程为x2﹣4y2=1；则其渐近线方程为x2﹣4y2=0；化简可得x±2y=0；故x2﹣4y2=1的渐近线为：x±2y=0．点评：本题考查双曲线的性质，要求学生掌握由双曲线的方程求其渐近线方程的基本方法． 16．三平行平面与一直线交于A，B，C三点，又与另一直线交于A′，B′，C′三点，已知AB=3，BC=7及A′B′=9求A′C′．考点：空间图形的公理。专题：计算题。分析：首先做出辅助线，过点A与直线A′B′确定一个平面，在这个平面上过A做A′B′的平行线，交面β于B1，交γ于C1，根据面面平行的性质定理得到两条直线平行，对应线段成比例，等量代换得到比例式，代入数据得到结果．解答：解：过点A与直线A′B′确定一个平面，在这个平面上过A做A′B′的平行线，交面β于B1，交γ于C1∵β∥γ，面ABB1同时与两个平面相交，得到交线平行，∴，同理得到∴∵AB=3，BC=7，A′B′=9∴A′C′==30．点评：本题考查面面平行的性质定理，考查平行线分线段成比例定理，考查等量代换思想，是一个比较简单的综合题目．17．有同底同高的圆柱及圆锥，已知圆柱的体积为18立方尺，求圆锥的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积。专题：计算题。分析：设圆柱的底面面积为s，高为h，则有圆柱的体积公式和圆锥的体积公式的关系直接求解即可．解答：解：设圆柱的底面面积为s，高为h．因为圆柱的体积公式sh，而圆锥的体积公式为sh，所以圆锥的体积为6立方尺．点评：本题考查圆柱的体积公式和圆锥的体积公式的关系，属基本公式的考查．18．已知lg2=0.3010，求lg5．考点：对数的运算性质。专题：计算题。 分析：注意到lg2+lg5=1即可．解答：解：lg5=1﹣lg2=0.6990．点评：对于高中生而言，对数以及对数函数的知识点相对较为陌生，在掌握这部分知识时，可以结合着指数函数的知识及对数函数与相应指数函数成反函数的关系进行理解，外，函数图象也是帮助学生理解其性质的重要帮手．19．抛物线y2=12x与2x2=3y的公共弦的长度是多少？考点：曲线与方程。专题：计算题。分析：通过将两条抛物线的方程联立，解方程组求出交点坐标，利用两点距离公式求出弦长．解答：解：由解方程组得两公共点为（0，0）及（3，6）故其公共弦长为：=．点评：本题考查通过解曲线的方程构成的方程组求出交点坐标、考查两点距离公式．20．国旗上的正五角星的每一个顶角是多少度？考点：圆內接多边形的性质与判定。专题：计算题。分析：在△AGF中，根据三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和，把五角星的五个角放到了一个三角形中，五个角的和恰好是三角形的三个内角，又知这五个角是相等的，得到要求的结果．解答：解：由图可知：∠AFG=∠C+∠E=2∠C，∠AGF=∠B+∠D=2∠B，∴∠A+∠AFG+∠AGF=∠A+2∠C+2∠B=5∠A∴5∠A=180°，∴∠A=36°．点评：本题考查三角形内角和是180°，考查三角形一个外角等于不相邻的两个内角之和，本题是一个基础题，考查的知识点比较简单．21．P，Q，R顺次为△ABC中BC，CA，AB三边的中点，求证圆ABC在A点的切线与圆PQR在P点的切线平行． 考点：两条直线平行的判定；直线与圆的位置关系。专题：证明题。分析：利用弦切角等于圆周角；三角形的中位线平行于底边；两直线平行内错角相等；内错角相等，两直线平行；证得结论．解答：证明：如图：由AD是大圆的切线，可得：∠1=∠2由RQ∥BC，可得：∠2=∠3，由QP∥AB，可得：∠3=∠4由PE是小圆的切线，可得：∠4=∠5由RP∥AC，可得：∠5=∠6综上可得：∠1=∠6，故AD∥PE．点评：本题考查圆的弦切角等于圆周角、两直线平行内错角相等、内错角相等，两直线平行．22．设△ABC的三边BC=4pq，CA=3p2+q2，AB=3p2+2pq﹣q2，求∠B，并证∠B为∠A及∠C的等差中项．考点：余弦定理；等差关系的确定。专题：综合题。分析：由BC，CA及AB的值，利用余弦定理表示出cosB的值，分子把第1和第3项结合利用平方差公式化简，然后分子提取4pq，约分化简后得到其值等于，然后根据B的范围，利用特殊角的三角函数值求出B的度数；然后表示出角C减角B，把B的度数代入并利用三角形的内角和定理即可得到值为角B减角A，得证．解答：解：由余弦定理可得：cosB====，∴∠B=60°，∵∠C﹣∠B=（180°﹣∠A﹣∠B）﹣∠B=60°﹣∠A=∠B﹣∠A，∴∠B是∠A与∠C的等差中项．点评：此题考查学生灵活运用余弦定理化简求值，掌握等差中项的意义及证明方法，是一道中档题． 23．（1）求证，若方程x3+ax2+bx+c=0的三根可排成等比数列，则a3c=b3．（2）已知方程x3+7x2﹣21x﹣27=0的三根可以排成等比数列，求三根．考点：等比数列的性质；一元n次方程根与系数的关系。专题：计算题；证明题。分析：（1）设出原方程的三根，根据一元三次方程根与系数的关系得到三根的三个关系式，又三根可排成等比数列，根据等比数列的性质得到中间的一根的平方等于其他两根的积即β2=αγ，要证a3c=b3即要证=c，把a与b代入等号的左边，化简后得到c，得证；（2）根据（1）可知β3=﹣c，又由方程得到c=﹣27，进而求出β的值，由三根之和等于﹣7，得到其他两根之和，记作①，由三根成等比数列得到β2=αγ，将β的值代入即可求出其他两根之积，记作②，联立①②即可求出其他的两个根，依次写出三根即可．解答：解：（1）设α，β，γ是方程x3+ax2+bx+c=0的三根，由根与系数关系可知：α+β+γ=﹣a，αβ+βγ+γα=b，αβγ=﹣c，又因α，β，γ排成等比数列，于是β2=αγ．则==﹣β3=﹣αβγ=c即a3c=b3，得证；（2）解：由（1）可知β3=﹣c，∴β3=27，∴β=3．代入α+β+γ=﹣7可得α+γ=﹣10，又由α，β，γ成等比数列，∴β2=αγ，即αγ=9，故可得方程组：解之，可得α=﹣9或﹣1，γ=﹣1或﹣9．于是，所求之三根为﹣9，3，﹣1或﹣1，3，﹣9．点评：此题考查学生掌握一元n次方程的根与系数的关系，灵活运用等比数列的性质化简求值，是一道中档题．24．过抛物线顶点任做互相垂直的两弦，交此抛物线于两点，求证此两点联线的中点的轨迹仍为一抛物线． 考点：抛物线的定义；轨迹方程。专题：计算题。分析：设OA的斜率为k，则直线OB的斜率为﹣，写出OA、OB的直线方程，与抛物线方程联立，求出A和B点的坐标，由中点坐标公式表示出中点的坐标，消去k即可得到中点的轨迹方程，从而可得轨迹．解答：证明：设抛物线方程为y2=2px①过抛物线顶点O任作互相垂直的二弦OA和OB，设OA的斜率为k，则直线OB的斜率为﹣，于是直线OA的方程为：y=kx②直线OB的方程为：y=﹣x③设点A（x1，y1），点B（x2，y2）由①，②可得：x1=．由①，③可得：x2=2pk2，y2=﹣2pk设P（x，y）为AB的中点，由上可得：④⑤由⑤可得：y2=⑥由④可知：px=，代入⑥即y2=px﹣2p2，所以点P的轨迹为一抛物线．点评：本题考查与中点有关的轨迹方程的求解，考查运算能力．