不定积分的方法总结

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1、精品文档不定积分的方法总结不定积分在高等数学中占有非常重要的地位，不管是在教师资格考试还是教师招聘考试中都有出题，另外不定积分的学习为以后学习定积分计算打下了坚实的基础，所以对于这方面的内容，下面是小编精心收集的不定积分的方法总结，希望能对你有所帮助。　　不定积分的方法总结　　教学过程：在实际问题的解决过程中，我们不仅要用到求导数和微分，还要用到与求导数和微分相反的计算即积分运算.也就是由函数的导数求原函数,它是积分学的基本问题之一-----求不定积分.　　一、原函数１．引例1：已知物体运动方程ss(t)，则其速度是物体位移s对时间t的导数.反过来,已知物体的速度v是时间t

2、的函数vv(t),求物体的运动方程ss(t),使它的导数s(t)等于vv(t),这就是求导函数的逆运算问题.引例2:已知某产品的产量P是时间t的函数PP(t),则该产品产量的变化率是产量P对时间t的导数P(t).反之,若已知某产量的变化率是时间t的函数P(t),求该产品产量函数P(t),也是一个求导数运算的逆运算的问题.2.【定义5.1】（原函数）设f(x)是定义在区间I上的函数．若存在可导函数F(x)，对xI均有F(x)f(x)ordF(x)2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创6/6精品文档f(x)dx,则称F(x)为f(x)在I上的一个原函数.例如

3、：由(sinx) cosx知sinx是cosx的一个原函数；又(sinx5) cosx,(sinxc) cosx（c是常数），所以sinx5,sinxc也都是函数cosx的一个原函数.再如：由(2x3) 6x2知2x是6x的一个原函数；32(2x3c) 6x2，所以2x3c（c是常数）也是6x2的一个原函数．注意：没有指明区间时，应默认为区间就是函数定义域．　　二、不定积分1．原函数性质观察上述例子知：函数的原函数不唯一，且有性质(1)若f(x)C(I),则f(x)存在I上的原函数F(x).(2)若F(x)为f(x)在I上的一个原函数，则F(x)C都是f(x)的原函数,其中

4、C为任意常数.(3)若F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则F(x)G(x)C.证明： F(x)G(x)F(x)G(x)f(x)f(x)0.CR, s.t.F(x)G(x)C.(4)设F(x)为f(x)在I上的原函数,则f(x)在I上全体原函数为F(x)2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创6/6精品文档C（其中C为任意常数）.2.【定义5.2】函数f(x)在I上的全体原函数称为f(x)在I上的不定积分,记作CR,s.t.f(x)dx.即若F(x)为f(x)在I上的一个原函数,则有f(x)dxF(x)C,C为任意常数.说明：(1)---积分号；(2)

5、f(x)---被积函数；(3)f(x)dx----被积表达式.(4)x----积分变量.3.结论：①连续函数一定有原函数．②f(x)若有原函数,则有一簇原函数.它们彼此只相差一个常数.提问：初等函数在其定义区间上是否有原函数？例：edx,sinxdx，x22sinxxdx）（一定有原函数，但原函数不一定还是初等函数.）例1求（1）3xdx；（2）x5dx.2解（1）∵(x) 3x，∴32233xdxxC.x6x655（2） C. x, xdx66例2求解11x2dx. arctanx 1,21x11x2dxarctanxC.1提问：dx arccotxC对吗？1x21例3求

6、dx.x11解:(lnx) , dxlnxC.xx2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创6/6精品文档例4:某商品边际成本为1002x,则总成本函数为C(x) (1002x)dx100xx2C.3．导数与不定积分的关系f(x)dxf(x)C.(1)*df(x)f(x)C.(1)df(x)dxf(x).dx(2)*df(x)dxf(x)dx.(2)可见：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.提问:如何验证积分的结果是正确的?(积分的导数是被积函数时正确)　　二、不定积分的几何意义如图：f(x)dxF(x)C，函数f(x)的不定积分表示斜率为f(x)的原函数对

7、应的一簇积分曲线.在同一点x0处积分曲线簇的切线平行.此曲线蔟可由F(x)沿y轴上下平行移动而得到．积分曲线：函数f(x)原函数yF(x)的图形称为f(x)的积分曲线.不定积分的几何意义：f(x)的不定积分是一簇积分曲线F(x)C.且在同一点x0处积分曲线簇的切线互相平行.2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创6/6精品文档例5设曲线通过点P(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线为yf(x),依题意知x2dy2x,dx 2x, 2xdxx2C,2于是f(