量子力学导论第5章答案

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1、第五章力学量随时间的变化与对称性5.1）设力学量不显含，为本体系的Hamilton量，证明证.若力学量不显含，则有,令则,5.2）设力学量不显含，证明束缚定态，证：束缚定态为:：。在束缚定态，有。其复共轭为。。5.3）表示沿方向平移距离算符.证明下列形式波函数（Bloch波函数）,是的本征态，相应的本征值为证：,证毕。65.4）设表示的本征态（本征值为），证明是角动量沿空间方向的分量的本征态。证：算符相当于将体系绕轴转角，算符相当于将体系绕轴转角，原为的本征态，本征值为，经过两次转动，固定于体系的坐标系（即随体系一起转动

2、的坐标系）的轴（开始时和实验室轴重合）已转到实验室坐标系的方向，即方向，变成了，即变成了的本征态。本征值是状态的物理属性，不受坐标变换的影响，故仍为。（还有解法二，参钱..《剖析》.P327）5.5）设Hamilton量。证明下列求和规则。是的一个分量，是对一切定态求和，是相应于态的能量本征值，。证：（）又，。不难得出，对于分量，亦有同样的结论，证毕。5.6）设为厄米算符，证明能量表象中求和规则为6（1）证：式（1）左端（2）计算中用到了公式。由于是厄米算符，有下列算符关系：（3）式（2）取共轭，得到（4）结合式（2）和

3、（4），得证毕。5.7）证明schrödinger方程变换在Galileo变换下的不变性，即设惯性参照系的速度相对于惯性参照系运动（沿轴方向），空间任何一点两个参照系中的坐标满足下列关系：。（1）势能在两个参照系中的表示式有下列关系（2）证明schrödinger方程在参照系中表为在参照系中表为其中证：由波函数的统计解释，和的意义完全相同。，是时刻在点找到粒子的几率密度；，是时刻在点找到粒子的几率密度。6但是在给定时刻，给定地点发现粒子的几率应与参照系的选择无关，所以相应的几率应相等，即（6）从（1）式有（6’）由此可以

4、得出，和两个波函数彼此只应差绝对值为1的相因子，所以（7）（7）由（1）式，,,（3）式变为：（8）将（7’）代入（8）式，可得（9）选择适当的，使得（9）（4），。（10）（10’）从（10）可得。（11）是的任意函数，将（11）代入（10’），可得积分，得。为积分常数，但时，系和系重合，应等于，即应等于，故应取，从而得到（12）代入（7’）式，最后得到波函数的变换规律：6（13）逆变换为（13’）相当于式（13）中的，带的量和不带的量互换。讨论：的函数形式也可用下法求出：因和势能无关，所以只需要比较平面波（自由粒子）

5、在和系中的表现形式，即可确定.沿方向运动的自由粒子，在伽利略变换下，动量、能量的变换关系为（14）据此，系和系中相应的平面波波函数为，（15）（1）、（14）代入（15），即得此即（13）式，由于这个变换关系仅取决于和系的相对速度，而与粒子的动量无关，所以上式适用于任何自由粒子。它正是所求的变换关系。66