量子力学导论第2章答案

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1、第二章波函数与Schrödinger方程2.1设质量为的粒子在势场中运动。（a）证明粒子的能量平均值为，（能量密度）（b）证明能量守恒公式（能流密度）证：（a）粒子的能量平均值为（设已归一化）（1）（势能平均值）（2）其中的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为。因此（3）结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度（4）且能量平均值。（b）由（4）式，得6（：几率密度）（定态波函数，几率密度不随时间改变）所以。2.2考虑单粒子的Schrödinger方程（1）与为实函数。（a）证明粒子的几率（粒子数

2、）不守恒。（b）证明粒子在空间体积内的几率随时间的变化为证：（a）式（1）取复共轭，得（2）（1）-（2）,得（3）即，此即几率不守恒的微分表达式。（b）式（3）对空间体积积分，得上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积的几率（），而第二项代表体积中“产生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。62.3设和是Schrödinger方程的两个解，证明。证：（1）（2）取（1）之复共轭：（3）（3）（2）,得对全空间积分：，（无穷远边界面上，）即。2.4）设一维自由粒子的初态，求。解：2.5设一维自由粒子

3、的初态，求。提示：利用积分公式6或。解：作Fourier变换：，，（）（指数配方）令，则。2.6设一维自由粒子的初态为，证明在足够长时间后，式中是的Fourier变换。提示：利用。证：根据平面波的时间变化规律，，6任意时刻的波函数为（1）当时间足够长后（所谓），上式被积函数中的指数函数具有函数的性质，取，，（2）参照本题的解题提示，即得（3）（4）物理意义：在足够长时间后，各不同k值的分波已经互相分离，波群在处的主要成分为，即，强度，因子描述整个波包的扩散，波包强度。设整个波包中最强的动量成分为，即时最大，由（4

4、）式可见，当足够大以后，的最大值出现在处，即处，这表明波包中心处波群的主要成分为。2.7写出动量表象中的不含时Schrödinger方程。解：经典能量方程。在动量表象中，只要作变换，所以在动量表象中，Schrödinger为：。66