量子力学导论第3章答案

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1、第三章一维定态问题3.1）设粒子处在二维无限深势阱中，求粒子的能量本征值和本征波函数。如，能级的简并度如何？解：能量的本征值和本征函数为若，则这时，若，则能级不简并;若，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如与）3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即求粒子的能量本征值和本征波函数。如，讨论能级的简并度。解：能量本征值和本征波函数为,当时，时，能级不简并；三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。如3.3）设粒子处在一维无限深方势阱中，证明处于定态的粒子讨论的情况，并于经典力学计算结果相比较。证：设粒子处于第n个本征态

2、，其本征函数.（1）（2）在经典情况下，在区间粒子除与阱壁碰撞（设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改变，但动能、速度不变）外，来回作匀速运动，因此粒子处于范围的几率为，故，（3），（4）当时，量子力学的结果与经典力学结果一致。3.4）设粒子处在一维无限深方势阱中，处于基态，求粒子的动量分布。解：基态波函数为,（参P57，（12））动量的几率分布3.5）设粒子处于半壁高的势场中（1）求粒子的能量本征值。求至少存在一条束缚能级的体积。解：分区域写出:（2）其中（3）方程的解为（4）根据对波函数的有限性要求，当时，有限，则当时，，则于是（5）在处，波函数及其一

3、级导数连续，得（6）上两方程相比，得（7）即（7’）若令（8）则由（7）和（3），我们将得到两个方程：（10）式是以为半径的圆。对于束缚态来说，，结合（3）、（8）式可知，和都大于零。（10）式表达的圆与曲线在第一象限的交点可决定束缚态能级。当，即，亦即（11）时，至少存在一个束缚态能级。这是对粒子质量，位阱深度和宽度的一个限制。3—6）求不对称势阱中粒子的能量本征值。解：仅讨论分立能级的情况，即，当时，，故有由在、处的连续条件，得（1）由（1a）可得（2）由于皆为正值，故由（1b），知为二，四象限的角。因而（3）又由（1），余切函数的周期为，故由(2)式，(4)由(3)

4、，得(5)结合(4),(5)，得或（6）一般而言，给定一个值，有一个解，相当于有一个能级：（7）当时，仅当才有束缚态，故给定时，仅当（8）时才有束缚态（若，则无论和的值如何，至少总有一个能级）当给定时，由(7)式可求出个能级（若有个能级的话）。相应的波函数为:其中3—7）设粒子（能量）从左入射，碰到下列势阱（图），求阱壁处的反射系数。解：势阱为在区域Ⅰ上有入射波与反射波，在区域Ⅱ上仅有透射波。故由，得。由，得。从上二式消去c,得。反射系数将代入运算，可得3—8）利用Hermite多项式的递推关系（附录A3。式（11）），证明谐振子波函数满足下列关系并由此证明，在态下，证：

5、谐振子波函数（1）其中，归一化常数（2）的递推关系为（3）3—9）利用Hermite多项式的求导公式。证明（参A3.式（12））证：A3.式（12）：3—10）谐振子处于态下，计算，，解：由题3—6），由题3—7），对于基态，，刚好是测不准关系所规定的下限。3—11）荷电q的谐振子，受到外电场的作用，（1）求能量本征值和本征函数。解：（2）的本征函数为，本征值现将的本征值记为，本症函数记为。式（1）的势能项可以写成其中（3）如作坐标平移，令（4）由于（5）可表成（6）（6）式中的与（2）式中的相比较，易见和的差别在于变量由换成，并添加了常数项，由此可知（7）（8）即（9）

6、(10)其中(11)3—12）设粒子在下列势阱中运动，求粒子能级。解：既然粒子不能穿入的区域，则对应的S.eq的本征函数必须在处为零。另一方面，在的区域，这些本征函数和谐振子的本征函数相同（因在这个区域，粒子的和谐振子的完全一样，粒子的波函数和谐振子的波函数满足同样的S.eq）。振子的具有的奇宇称波函数在处为零，因而这些波函数是这一问题的解（的偶宇称波函数不满足边条件）所以3—13）设粒子在下列势阱中运动，(1)是否存在束缚定态？求存在束缚定态的条件。解：S.eq:(2)对于束缚态（），令(3)则(4)积分,,得跃变的条件(5)在处，方程(4)化为(6)边条件为因此(7)

7、再根据点连续条件及跃变条件(5)，分别得(8)(9)由（8）（9）可得（以乘以（9）式，利用（8）式）(10)此即确定能级的公式。下列分析至少存在一条束缚态能级的条件。当势阱出现第一条能级时，，所以,利用,（10）式化为,因此至少存在一条束缚态能级的条件为（11）纯势阱中存在唯一的束缚能级。当一侧存在无限高势垒时，由于排斥作用（表现为，对）。束缚态存在与否是要受到影响的。纯势阱的特征长度。条件（11）可改写为（12）即要求无限高势垒离开势阱较远（）。才能保证势阱中的束缚态能存在下去。显然，当（即），时，左侧无限高势垒的影响可以