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《数学与应用数学毕业论文-秩幂等矩阵的刻画与幂等矩阵进一步研究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、秩幂等矩阵的刻画与幂等矩阵的进一步研究秩幂等矩阵的刻画与幂等矩阵进一步研究(莆田学院数学系指导教师:)摘要:本文主要采用Jordan标准形的方法，极小多项式的理论，从矩阵的秩幂等性出发来研究其幂等性,沟通了矩阵的秩幂等性与幂等性.本文还进一步刻画了秩幂等矩阵与幂等矩阵.关键词:秩幂等矩阵幂等矩阵 矩阵的秩 Jordan标准形 极小多项式 Abstract:Inthispaper,applyingthemethodoftheJordannormalcanonicalandtheminimummultinomialtheory，webeginwiththerank-id
2、empotentmatrices,andestablishabridgebetweenrank-idempotentmatricesandidempotentmatrices.Alsowefurtherthediscussesofidempotentmatricesandrank-idempotentmatrices.Keywords:Rank-idempotentmatrixIdempotentmatrixRankofmatrixJordannormalcanonicalminimummultinomial.44秩幂等矩阵的刻画与幂等矩阵的进一步研究1.引言为任意
3、数域,为复数域.表示数域上所有矩阵组成的集合.表示上的维列向量组成的维线性空间.表示阶单位矩阵.,表示的值域,表示的核子空间.表示的秩.表示的次方幂，在本文总规定是自然数.特别地，是可逆矩阵时,有意义，且.定义1.设对任意，，则称为次幂等矩阵.注:我们之所以强调幂等指数的最小性,是因为存在矩阵,满足但.例如.为了更细致的刻画幂等矩阵,我们定义了次幂等矩阵.定义2.设,则称为幂等矩阵.若,则简称为幂等矩阵.现有文献[1-4][7][9-13]都是讨论满足条件的矩阵的相关性质.这些文献并未强调幂等指数的最小性.为了更广泛的讨论幂等矩阵,我们定义了幂等矩阵.注:定义1与定
4、义2的区别是在定义1中强调幂等次数的最小性,在定义2中只要求矩阵满足条件即可.定义3.设.,满足则称为为秩幂等矩阵.注:在后文的定理2中我们证明了在本质上就是故在此处不需再像定义2那样定义秩幂等矩阵.因为目前文献对幂等矩阵的定义都是满足定义2的矩阵.而就简称为幂等矩阵.定义3中定义秩幂等矩阵是很自然的,因为只要与的秩相等,就称其为秩幂等矩阵.定义4.设满足且,,,,则称为次幂等矩阵.注:这样定义的矩阵是自身逐次乘方后首次出现与前面的相等的矩阵.44秩幂等矩阵的刻画与幂等矩阵的进一步研究定义5.设,若存在自然数使当时成立,则称为幂等矩阵.注:这在粗略的只讨论满足条件的
5、矩阵时是可取的.定义4强调了幂等次数的最小性,而且定理5只是讨论满足条件的矩阵.本文将分别对次幂等矩阵与幂等矩阵进行讨论.定义6.设，若存在自然数使且对有则称为次秩幂等矩阵.定义6比定义3更严格.定义3中包含了可逆矩阵,而特别的在定义6中令则本质为且也即不包括可逆矩阵.定义7.设,次数最低的,首项系数为1的,以为根的多项式叫做的极小多项式.记为.关于幂等矩阵(是指满足条件的矩阵.这与定义1中的次幂等矩阵不同,与定义2中的幂等矩阵相同,并不强调幂等次数的最小性)的刻画已有不少文献:[1],[2],[3],[4],[7],[9],[10],[11],[12],[13].
6、其中文[9-13]都是从秩的等式去刻画.文[1-3]给出了三幂等矩阵(满足)的不同形式的等式.命题1(见文[1],()式])设,,则命题2(见文[2],推论1)设,,则；；注(1.1)式是大家所熟知的结论.可通过矩阵初等变换的方法证得.其中(1.3)式中不正确.反例:令满足,命题3(见文[3],()()式)设,则特别地,若则有文[4-5]给出了一般的幂等矩阵(满足)的等价刻画.命题4(见文[4]定理3.1)设,为正整数，则命题5(见文[4]推论1)设,为正整数,则对任意的自然数有如果.44秩幂等矩阵的刻画与幂等矩阵的进一步研究命题6 (见文[5]()式)设,则其中，
7、．利用此命题而易得以上这些命题都可通过用分块矩阵初等变换的方法证得.文[6-8]主要从矩阵的值域,核子空间与线性空间的关系来刻画幂等矩阵.主要结果如下:命题7(见文[6],命题4,5,7,8)为幂等矩阵,则(1);(2);(3);(4).命题8(见文[7],命题9)设阶方阵的秩为,为幂等矩阵,则存在加逆矩阵,使.命题9(见文[8],推论1)设为数域上的阶方阵,则下列命题等价:(1);(2);(3).命题7-9通过线性变换的方法结合维数公式可得证.文[9]首先用两种不同的方法建立了二阶幂等矩阵的表现定理,进而对一般幂等矩阵作出刻画.命题10(见文[9],定理1)是
