数学与应用数学毕业论文-对数量幂等矩阵秩的研究

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1、黄少武对数量幂等矩阵秩的研究对数量幂等矩阵秩的研究黄少武(数学与应用数学指导教师:晏瑜敏)摘要：本文是在复数域上研究数量幂等矩阵的秩（满足：）的矩阵之间的秩，主要对它们之间和、差以及换位置的秩的等式的讨论。在此证明过程中的方法主要是借鉴文献[1—3]讨论的基础之上，并且利用分块矩阵的高斯消元法，最后进一步给出了其他一些特殊矩阵的秩的等式。关键词：矩阵的秩数量幂等矩阵换位置矩阵初等变换Abstract：Inthispaper,westudyrankofscalar-potentmatrix(thatis:),andwemainlydiscusstheadditio

2、n、subjection、commutatoroftherankequationsinthem.Themethordoftheproofmainlybasesonreferences[1—3],andbyblockGaussianelimination.wealsogivesameotherrankequationofspecialmatrices.Keywords：RankofmatrixScalar-potentmatrixCommutatorElementarytransformationmatrix0引言在给出本文的定理之前，首先对在本文中要用到的符号进

3、行说明，并且引入在这证明过程中要用到的一些结论或者定理。幂等矩阵在矩阵论中起着基础性的作用。如果矩阵称为是幂等矩阵当且仅当如果矩阵称为斜幂等矩阵当且仅当（见文献[3]）。下面用来表示矩阵的秩。分块矩阵：,,,.,,,其中是表示矩阵列分块，是一个矩阵的行分块。在这篇文章中用来表示矩阵的广义逆。这里说的广义逆指的是满足：设是矩阵，若存在矩阵，使得：则称是的广义逆。即：。(当是非奇异矩阵时,的广义逆就是通常的逆矩阵)最后，对于数量幂等矩阵的一些结论已经在文献[1]中已经给出一小部分。都是复数域上的两个阶的数量幂等矩阵，满足：则有下面秩的等式的结论。主要结果（见文献[1

4、]）：（0.1.1）（0.1.2）-15-黄少武对数量幂等矩阵秩的研究（0.1.3）（0.1.4）（0.1.5）（0.1.6）1预备知识下面给出在本文中要用到的一些预备知识。引理1[1]设A、B、C是复数域上的任意阶矩阵，则有下列秩的等式成立：（1.1.1）（1.1.2）（1.1.3）其中为矩阵的广义逆。引理2[2]设是复数域上阶的幂等矩阵（），并且设、是非零的系数满足：，则有：（1.2.1）关于对数量幂等矩阵（使得满足：）它们之间和、差以及换位置的秩的一些等式已经给出，在文献[1]中这些等式主要是利用已有幂等矩阵秩等式的结果来推得，因为如果则可以易得：,这就是

5、说如果当时，则就是可知就是一个幂等矩阵。引理3设矩阵是复数域上的任意矩阵，对于分块矩阵的秩有下列等式成立：(1.3.1)在本篇一开始研究对任意的关系的时候，讨论以及秩的等式，接着看对于的关系分为二种情况，对每一种的情形进行简化结果。因此讨论-15-黄少武对数量幂等矩阵秩的研究秩的情况，按的关系分为三个步骤来加以论述，首先是讨论的是当时，讨论和有秩的等式；当的时候，又分为两种情况：<1>（当然也可以是）<2>（类似的）加以讨论。2主要的结果现在对上面提到的二种情况进行分类讨论，并给出一些结果。2.1对任意的非零数、讨论数量幂等矩阵的秩定理1设是复数域上的阶数量幂等

6、矩阵，满足：，，则的秩满足下面等式：（2.1.1）证明先构造一个矩阵,因为初等变换不会改变矩阵的秩，下面对该矩阵进行两种不同的初等变换，（因为：）所以可以得到（2.1.2）-15-黄少武对数量幂等矩阵秩的研究另一方面用不同的初等变换，故可以得到（2.1.3）故由（2.1.2）和（2.1.3）得到由上面的结论可得知所以又因为所以可已得到证毕。对于的等式，我们可以根据定理1用同样的思路可以讨论，于是可以得到下面的结论。-15-黄少武对数量幂等矩阵秩的研究定理2设是复数域上的阶数量幂等矩阵，满足：，则的秩满足下面等式：（2.1.4）证明先构造一矩阵可以得到所以可以得到

7、（2.1.5）另一方面-15-黄少武对数量幂等矩阵秩的研究所以可以得到（2.1.6）由上面得（2.1.5）和（2.1.6）得到（2.1.7）所以又因为有上面可以得到故有上面可以得到又因为所以可以得到证毕。由上面的广义逆的定义可以得到如果对于满足：的矩阵。则-15-黄少武对数量幂等矩阵秩的研究它们的广义逆的定义可得：。根据引理1可以得到（2.1.8）（2.1.9）（2.1.10）（2.1.11）将上面的（2.1.10）、（2.1.11）带入上面的（0.1.2）可以得到下面的结论。（2.1.12）将（2.1.8）、（2.1.9）代入（0.1.1）可得到（2.1.13

8、）在上面的讨论我们主要是