资源描述：
《数学学年论文毕业论文幂等矩阵与幂等变换》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、幕等矩阵与幕等变换摘要：木文对一种特殊的矩阵与线性变换一一幕等矩阵与幕等变换进行一些探究。通过对它们的性质、判定方面的思考，我们对幕等矩阵与慕等变换有了比较清晰的认识和理解，也就获得一些有趣的结论。关键词：幕等矩阵;幕等变换;秩;直和;可逆变换—*、引言矩阵与线性变换方面的理论是高等代数的主要内容。我们对此已有了大概的了解。设4是斤阶方阵，规定A"=AAAA则称/T为A的加次幕。如果方阵人满足屮二人，则称方阵4为慕等矩阵。同理，如果线性变换兔满足a2=7，贝U称线性变换艮为無等变换。幕等矩阵和幕等变
2、换是特殊的矩阵和特殊的线性变换。高等代数教科书对这种矩阵的讨论甚少，木文中我们深入地讨论幕等矩阵的一些基本性质。当然，进一步也讨论幕等变换的基本性质，得到了一些有趣的结果。二、一般地，我们有以下结论：命题1幕等矩阵人满足则(mGz+)所以幕等矩阵与其加次幕的〃元齐次线性方程组同解，即=0与Ax=O具有相同的解空间。在一般情况下行列式的值是不确定的，然而幕等矩阵的行列式的值却有规律可循。于是便有下面的命题2命题2幕等矩阵4的行列式的值为1或0证:由于幕等矩阵a2=a两边同吋取行列式的值
3、a2
4、=
5、a
6、
7、附=
8、A
9、•••^
10、-1)=0••・国=o或
11、A
12、=1线性变换的值域与核都是线性空间V的不变子空间并11满足线性变换入的秩与其零度之和为料，但是AV+A-^O)并不一定是整个线性空间，但是幕等变换兔却满足线性空间V=刁卩㊉并7(0)于是我们就可以得到命题3命题3：设V是复数域上的线性空间，瓜是V的幕等变换,则V=AV㊉乔(0)证：由于A=A,VergAV処
13、必有J3eV使得a=A(3,~a==A/3=a,^aeAVr>A~ )则a=Aa=0:.AVnZ_l(0)={0},即V=IV㊉"(O)由于
14、幕等变换灭满足V=AV㊉A」(0),幕等变换的值域为AV={a^I^gV),则幕等变换灭的核为"(())={§-人笊"}。同时根据直和所具有的特性可知线性空间V屮的任何向量Q都可以唯一地表示成a=的形式£gAV9a2eA_，(0)j且满足也］=a】，Aa2=0在上面只是探讨了一个幕等变换的值域和核，可以发现幕等变换值域和核具有特殊的性质，接下来对两个幕等变换在什么情况下具有相同的值域或核进行探讨，丁是得出如下结论：命题4.幕等变换入万有相同的值域当且仅当AB=BfBA=A证：充分性•由~AB=B,贝
15、ljBV=AfiV=A(5V)oAV・同理可证：AV^BV:.AV=BV必要性•由AV=BV则V/?gV,B/3eBV=AV:.存在aeV使得B/3=Aa*7/.AB/3=A~a=Aa=Bp:.(AB-B)/3=0,由于0的任意性・••~AB=B同理可证:BA=A命题5.慕等变换入用冇相同的核当且仅当~AB=A,BA=B证：充分性，令0w^J(O)则戶0=0则丽0=0乂QBA=B歹0=0贝U0W亍'(0)那么^-1(0)匸瓦'(0)同理可证：才'(O)npT(O)...A_1(0)=B''(0)必要
16、性，由于A_'(0)=B_1(0),V6zgA,由^B2-B=B(B-E)=0・•・僻一亦=0,B((B-£»=0(B-E)agB~x(0)=A~'(0),A((B-f}z)=0.•・{aB-A)a=0,由q的任意性可知AB=A同理可证：BA=B命题6.线性空间V上的线性变换兔是V对其值域入/上的投影的充要条件是兔是無等变换证：必要性•根据投影的定义陰壽G=1,2,A,m)(i=m+1,m+2,A/)其中，©（心1,2,A"）是线性变换久值域矽的一组基，扩充成V的一组基—2——4乞=A•Aei==A
17、(Aq)=Aei(/=m+1,A,n)—2——A£i=A•As(==A(Agj=Asi(z=1,2,A,m)A£i—Ast(i=12AMM+1,A,n)由于®作为基向量不为零，且(^2-a^=o—2—/.A=A充分性•设灭是线性空间V上的幕等变换，由上面的结论V=AV㊉；T、（o）取入/中的一组基8X,£2,A,sm（m为幕等变换刁的秩）可以扩充为V的一组基W2，A竝，人，6QA1=A,A®gAV,4(人刍)二A£i=Ag:.ASj=£i(i=1,2,A,加)As{=0(z=m+1,/??+2,A,
18、〃).•.幕等变换勿是线性空间7对值域矽上的一个投影(E0、命题7.幕等矩阵A是矩阵A的相似标准形为r的充分必要条件，其中厂为(00丿矩阵力的秩证：在幕等变换兔的值域中取一组基£心卜・__1__1由于V=AV㊉"(o)所以可以/T(o)取一组基并且7，〃2，a，z，〃m5线性无关扩充成线性空间v的一组基沏］=〃］(/=1,2,A,r)彻i=0(z=1,2,A,n)方(7,…久)=(7,…久)A(E().•.幕等矩阵4的相似标准形为rIUu丿进而(心122)As.=0
