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《数学学年论文毕业论文幂等变换与幂等矩阵的性质》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、幕等变换与幕等矩阵的性质摘要：本文对矩阵中的特殊矩阵一幕等矩阵和线性变换中的特殊变换一幕等变换做了进一步研究，主要讨论了它们的性质及联系.关键词：幕等变换幕等矩阵引言：在高等代数的研究中，矩阵与线性变换占有重要地位，并11它们之间有着密切的联系，线性变换中的许多问题都是通过矩阵來解决的。幕等变换也是如此，本篇文章探讨的就是幕等变换与幕等矩阵的性质，研究过程中运用的特姝符号说明如下：AT矩阵A的转置Ah矩阵A的共轨转置R(A)矩阵A的值域，N(A)矩阵A的核空间，一、幕等矩阵定义［1］设AeCnXn,若A?=A则称A是幕等矩阵。定理1若P是幕等矩阵，则(1)PSPH,e-pt,E-Ph是幕等矩
2、阵。(2)P(E-P)=(E-P)P=O(3)Px=x的充要条件是xER(P)证明：(1)P2=P=>(PT)2=(P2)T=卩丁=>卩丁为幕等矩阵p2=p=>(pH)2=(p2)H=pH=>pH为幕等矩阵(E-P)2=(E-P)(E-P)=E2-EP-PE+P2=E-2P+P2=E-P故E-P为幕等矩阵(E-Pt)2=(E-Pt)(E-Pt)=E2-EPt-PtE+(Pt)2=E-Pt故E-pT为幕等矩阵(e-ph)2=(E-Ph)(E-Ph)=E2-EPh-PhE+(Ph)2=E-Ph故E-pH为幕等矩阵(2)P(E-P)=PE-P2=P-P2=0(e-p)p=ep-p2=p-p2=o故
3、P(E-P)=(E-P)P=O(3)设x满足Px=x，则xeR(P).反之，若XWR(P),则必存在yeCn,使得Py=x,于是，Px=P(Py)=Py结论的几何意义是P的特征值为1的特征子空间就是P的值域。定理2秩为r的n阶.矩阵P是幕等矩阵的充要条件是存在CeCnxn使得~Er_c“pc=L°J(i)证明：必要性：设J是P的Jordan标准形，CeCnxn?Jl■jl'Ai1■J2•Zi1■C_,PC=J=•Js,Ji=■Ainixni知加=0或1,Ji是Jordan块。由于P2=P,则j[=Ji(i=l,2,3....s)•欲使Ji2=Ji.必须叶1。因此J是对角阵。又曲pJp。r=r
4、ankJ=trP.知p2=p.'Er][Er充分性：由L°」2=.推论[1]rankP=trP证明：由上题的(1)知幕等矩阵的特征值非1即0。且r=rankP又冇式(1)知trP=X1n2+...+Xx=r其中九九2••入是P的n个特征值矩阵的性质通常从以下几方面来研究：矩阵的秩，矩阵的相似对角化，矩阵的特征值対于幕等矩阵我们也从这几方面入手，讨论其具有的性质。'Er_性质1若A为Nn矩阵且A2=A,则A相似于一对角阵L0-证明：取一线性空间V(n维)及一组基8i,£2...£n定义一线性变换A:V-V,2=2贝ijA(&,&,・・・&)=(&,&…&)A・±
5、A2=A,则A~A・ga1A*
6、(0),设a=Ap,peV,Aa=A2p=p=a.XAa=0,则a=0,则AV+A-1(0)为直和。所以V二A㊉A"(0)。在子空间AV中取基帖2・・・帖，在子空间A
7、(0)取基“叶+2....片,则向量组T
8、】.T
9、2…rp
10、r+i…m就是V的一组基。又Ar]i=T
11、i,Ar)2=T
12、2...Ar
13、r=T
14、rAr)r+i=0,Ar
15、r+2=0...Ar
16、n=0,/jn、ErrEr、<0丿所以A相似于A(r)i,r
17、2・・.m)=(m，r
18、2...r
19、n)性质2若A为ns幕等矩阵，且R(A2)二R(A)则有以下结论成立(1)Ax=0与A2x=0同解(1)对于任意自然数P,均有R(Ap)
20、=R(A)证明:(1)设R(A)=r显然Ax二0的解均为A■二0的解；设有一基础解系小巾…吋则此基础解系也为A?x二0的解，并且线性无关，而R(A2)=r,所以“七…⑴也为A2x=O的基础解系，那么Ax=O与A2x=0同解(2)若a为A■二0的解，则A2a=0=>A3a=0,则a为A’E二0的解，反之，若a为A3x=0的解，则Aa=O即A2Aa=0,说明向量Aa=O为方程组A2x=0的解，由(1)则Aa为Ax=O的解,则有A2a=0,即a也为A2x=0的解，所以A2x=0与A3x=0同解。因此，照此方法类推,则必有R(Ap)=R(A)o性质3若A为n阶方程,且R⑷+(E-A)=n,则A2=A
21、证明：设V为n维线性空间，其基&,£2…&定义下述线性变换A:V->V,A(&,&2・・・&)二(&,&…&)A(E—A)(&,€2...£n)=(£i,£2...£n)(E-A),dim(AV)=R(A),dim[(E-A)]=R(E-A)由题设，则dimAV+dim(E・A)=n…⑴Vaev,a二Aa+(a-Aa)eAV+(E-A)V,则V二AV+(E-A)V则V二AV㊉(E-A)V.下证A2=A,其实V
