数学与应用数学毕业论文-矩阵 的幂等性的进一步研究

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1、李延玲矩阵的幂等性的进一步研究矩阵的幂等性的进一步研究李延玲（数学系指导老师：陈智雄）摘要：幂等矩阵在矩阵论中起着基础性的作用，特别是幂等矩阵的线性组合的性质。本文得出了两个可交换矩阵次幂等矩阵和矩阵的线性组合的幂等性条件，两个可交换幂等矩阵和次幂等矩阵的线性组合的幂等性的一些充要条件。关键词：幂等矩阵幂等矩阵线性组合幂等性Abstract：Idempotentmatrixinmatrixtheoryplaysabasicrole,inparticularlinearcombinationsofidempotentmatricesnature.Inthispaper,

2、wogivetwointerchangeablel-potentmatrixidempotentmatrixandthematrixoflinearcombinationofpowerandotherconditions,andthetwointerchangeableIdempotentandl-potentmatrixoflinearcombinationsofidempotentsomeofthenecessaryandsufficientconditions.Keywords:Idempotentmatrixl-potentmatrixlinearcombin

3、ationidempotency0符号说明及引言幂等矩阵是一类很重要的矩阵，它在矩阵理论中起着基础性的作用，近几年关于幂等矩阵的线性组合性质（尤其是幂等性和可逆性）研究的文献很多。例如，在文献[1]中给出了两个幂等矩阵在可交换与不可交换下的幂等性问题，文献[2]中得出了幂等算子线性组合的幂等性的条件，文献[2]给出了两幂等矩阵线性组合的次幂等性的一些充要条件以及参考文献[5]中已经得出了幂等矩阵和幂等矩阵，且，建立了矩阵与的线性组合是幂等矩阵的一些充分条件。在文献[1—6]的基础上，进一步探讨两个可交换的幂等矩阵的线性组合的幂等性问题。在给出本文的定理之前，首先对在本

4、文中要用到的符号进行说明，并且引入在这证明过程中要用到的一些结论或者定理。用表示复数域上的所有矩阵组成的集合；表示复数域上的所有维列向量组成的集合，表示阶单位矩阵，表示阶单位矩阵，表示矩阵的秩。如果非零矩阵,且，称为是幂等矩阵。如果非零矩阵,且，其中，称为是次幂等矩阵。当时，称为是三幂等矩阵。对于非零矩阵，如果存在可逆矩阵，使得,称矩阵和是相似的。如果非零矩阵与对角矩阵相似，称矩阵可对角化。如果矩阵和都可对角化，且存在可逆矩阵，使得和都是对角矩阵，称矩阵和同时可对角化。本文主要是采用定义法和可对角化法讨论矩阵的幂等性,探讨两个可交换矩阵次幂等矩阵与矩阵的线性组合的幂等

5、性，接着给出两个可交换矩阵幂等矩阵和幂等矩阵的线性组合的幂等性的一些充要条件。13李延玲矩阵的幂等性的进一步研究1预备知识下面给出在本文中要用到的一些基本定理。引理1假设当时，则是三幂等矩阵。证明：引理2设为次幂等矩阵，则矩阵必相似于对角矩阵，即存在可逆矩阵，使得，其中，。证明：由于为次幂等矩阵，即，设矩阵的化零多项式为，当时，，则的可能取值为。矩阵的化零多项式无重根，所以矩阵必相似于对角矩阵，即存在可逆矩阵，使得，其中。引理3[4]设,其中当，是级单位矩阵，，则与可交换的矩阵只能是准对角矩阵，其中是级矩阵（）。13李延玲矩阵的幂等性的进一步研究证明：设与可交换，其中

6、与分块方式相同，即，由于互异，比较非对角块元素，即，于是。因此与可交换的矩阵是准对角矩阵。引理4设，是两个非零矩阵，满足，则存在可逆矩阵，使得，证明：令，因为，所以由引理2和引理3知，。13李延玲矩阵的幂等性的进一步研究引理5设矩阵为两个可交换的幂等矩阵，，则存在非奇异矩阵，使得，其中，分别为阶，阶的对角矩阵，其对角元。引理6设矩阵为两个可交换的幂等矩阵，，矩阵为的线性组合，其中，则矩阵是可对角化的。引理7设，若有可逆矩阵和使，则和有相同的幂等性。证明：假设为k次幂等矩阵，即，则有；另一方面，当时，则有。2主要结果2.1可交换次幂等矩阵和矩阵的线性组合的幂等性定理1设

7、两个非零矩阵，满足,，，令，其中，则成立的充分必要条件是存在可逆矩阵，使得，其中，，，。证明：由及引理2知，存在可逆矩阵，使得,其中，。13李延玲矩阵的幂等性的进一步研究必要性由及引理4知,所以,因为,所以。由引理3知，存在可逆矩阵使得。其中，，所以，其中，，。充分性，由，，故。由定理1,我们可以知道只要给定一个次幂等矩阵，就可以找到与矩阵可交换的矩阵，使得是幂等矩阵。如果取，就可以得到推论1。推论1设两个非零矩阵，满足,，，令，其中，则成立的充分必要条件是存在可逆矩阵，使得13李延玲矩阵的幂等性的进一步研究，其中，。由定理1知，矩阵不一定是幂等矩阵