构造对偶式 妙证不等式

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1、构造对偶式妙证不等式构造对偶式，是指在解题过程中抓住代数式的结构特征，构造一个与其结构相似或相近并具有某种对称关系的代数式，而后通过对这组对偶关系式进行加、减、乘、除等运算，促使问题的转化与解决.构造相应的对偶式，使其结构更加均衡，体现了数学的对称美和构造美.下面我们通过实例来介绍构造对偶式的几种常用方法，以及如何对所构造的对偶关系式进行合适的处理.1构造“错位”对偶关系式例1设x，y，z∈R+，求证：z2-x2x+y+x2-y2y+z+y2-z2z+x≥0.（W.Janoux猜想）分析本题的证法很多，有分母置换法、排序不等式法、函数思想法、对偶法等等，其

2、中对偶法最为精彩.证明设M=z2-x2x+y+x2-y2y+z+y2-z2z+x，N=x2-y2z+x+y2-z2x+y+z2-x2y+z，则M+N=0.而M-N=（z2-x2x+y-z2-x2y+z）+（x2-y2y+z-x2-y2z+x）+（y2-z2z+x-y2-z2x+y）=（z+x）（z-x）2（x+y）（y+z）+（x+y）（x-y）2（y+z）（z+x）+（y+z）（y-z）2（z+x）（x+y）≥0.所以M≥0，故原不等式成立.例2若α，β，γ为锐角，且cos2α+cos2β+cos2γ=1，第7页共7页求证：cot2α+cot2β+cot

3、2γ≥32.证明设M=cot2α+cot2β+cot2γ=cos2αsin2α+cos2βsin2β+cos2γsin2γ，N=cos2βsin2α+cos2γsin2β+cos2αsin2γ，P=cos2γsin2α+cos2αsin2β+cos2βsin2γ.则N+P=3，M+N=sin2γsin2α+sin2αsin2β+sin2βsin2γ≥3，M+P≥3.所以2M+（N+P）≥6M≥32.故原不等式成立.2构造“倒序”对偶关系式例3已知a、b∈R+，且1a+1b=1，试证：对每一个n∈N+，（a+b）n-an-bn≥22n-2n+1.（1988年

4、全国高中数学联赛试题）证明设M=（a+b）n-an-bn=C1nan-1b+C2nan-2b2+…+Cn-1nabn-1，N=Cn-1nabn-1+Cn-2na2bn-2+…+C1nan-1b.显然M=N，两式相加得，2M=C1n（an-1b+abn-1）+C2n（an-2b2+a2bn-2）+…+Cn-1n（abn-1+an-1b）≥2anbn（C1n+C2n+…+Cn-1n）≥2（ab）n2（2n-2）.由条件得ab≥4，所以M≥4n2（2n-2）=22n-2n+1.故原不等式成立.第7页共7页3构造“加减”对偶关系式例4已知函数f（x）=x+x2-3

5、x+2，证明：2≤f（x）或1≤f（x）0，求证：x+1x-x+1x+1≤2-3.证明设M=x+1x-x+1x+1，构造M的辅助对偶式：N=x+1x+x+1x+1，则有M・N=1且N≥2+3，从而1=M・N≥（2+3）M，因为M>0可得M≤2-3.即原不等式成立.4构造“互余”对偶关系式例6若α>0，β>0，α+β≤π，且0≤λ≤1，则有cos2λα+cos2λβ-2cosλα・cosλβ・cosλπ≥sin2λπ.（杨乐不等式）证明设M=cos2λα+cos2λβ-2cosλα・cosλβ・cosλπ，N=sin2λα+sin2λβ-2sinλα・sin

6、λβ・cosλπ.则M+N=2-2cosλπ・cosλ（α-β）.（1）M-N=cos2λα+cos2λβ-2cosλπ・cosλ（α+β）=2cosλ（α+β）[cosλ（α-β）-cosλπ].因为α>0，β>0，α+β≤π，且0≤λ≤1，所以λ（α-β）≤λ（α+β）≤λπ≤π.因为y=cosx在0，π上是减函数，所以cosλ（α+β）≥cosλπ，cosλ（α-β）-cosλπ≥0，所以M-N≥2cosλπ・cosλ（α-β）-2cos2λπ.（2）（1）+（2）得：2M≥2-2cos2λπ，所以M≥sin2λπ.第7页共7页故原不等式成立.5利用

7、“m2n与mn2互配”构造对偶关系式例7设a，b，c是某个三角形的三边长，求证：a2（b+c-a）+b2（c+a-b）+c2（a+b-c）≤3abc.（第6届IMO试题）证明设M=a2（b+c-a）+b2（c+a-b）+c2（a+b-c），N=a（b+c-a）2+b（c+a-b）2+c（a+b-c）2.则M+N=6abc，M-N=a（b+c-a）（2a-b-c）+b（c+a-b）（2b-c-a）+c（a+b-c）（2c-a-b）=2（b+c-a）（c+a-b）・（a+b-c）（b+c-a）・（c+a-b）（a+b-c）-2abc≤2・（b+c-a）+（c+

8、a-b）2・（a+b-c）+（b+c-a）2・（c+a-b）+（a