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《构造奇次式妙解圆锥曲线》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、构造奇次式妙解圆锥曲线1过原点两直线与二次曲线一条直线与一个二次曲线交于两点A,B,设直线方程为，曲线方程为，此二次曲线可以是倾斜的椭圆，双曲线，抛物线，若倾斜必含，将化为，将代入上式，显然是一个二次齐次式，且一定可化为中的几何意义为，两点，直线与曲线的交点，与原点的连线，的斜率，即的斜率19设为，由韦达定理知从而能通过最初的二次曲线和直线相交，得出的性质，倒过来，我们也可以通过的性质与二次曲线得出的性质，应用举例例1抛物线，过原点的两条垂直的直线，交抛物线于两点，求证:直线过轴上一定点分析:知道的一个性质，垂
2、直，从而可以从它得出的性质，进而得出定点解:设(1)抛物线：(2)(1)化为代入(2)（目的化为二次齐次式）得，即（3）可化为，19，,恒过点说明，没有必要求出B值，因为目标与值无关，从而减少运算量下面的这个例子是过一点引两直线，但此点不在原点，怎么办，可以移轴例2点是抛物线上任意一点，是抛物线的两条互相垂直的弦，求证:过定点分析，注意到,但是不在原点，我们可以通过平移坐标轴，强行将其平移到原点，化为过原点的两直线与二次曲线相交的问题解:平移坐标系，使为原点点P点O抛物线旧坐标新坐标在新坐标系下，设，抛物线19
3、可化为(注意常数项上肯定为0，因为抛物线经过原点。故没必要计算常数项)(1)把化为,,可化为，,,,即直线在新坐标系过点，原坐标系过点说明，此题是例1的推广，此题若用常规法，运算量很大设，代入抛物线方程得，19整理得：设两点坐标分别为，则，又，，直线在新坐标系过点以上例题过原点两直线与二次曲线相问题，不管此点是真原点，还是假原点，都可化为过原点的两直线，注意此时点的坐标与曲线的方程都会发生改变，其实质是平移公式19例3(2013江西理)（本小题满分13分）如图所示，椭圆经过点，离心率，直线的方程为．(1)求椭圆
4、的方程；(2)是经过右焦点的任一弦（不经过点），设直线与直线相交于点，记的斜率分别为．问：是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．分析（1）由点在椭圆上和离心率建立方程组求出椭圆的方程；19（2）设出直线的方程，将其与椭圆的方程结合得到一个一元二次方程，根据根与系数的关系得出两点的坐标之间的关系和点的坐标，由此得出相应的直线的斜率，根据三点共线得出相应的坐标之间的关系从而求出常数的值.解析（1）由在椭圆上，得.①依题设知，则.②将代入，解得.故椭圆的方程为.（2）方法一：由题意可设的斜率为，则直
5、线的方程为.③代入椭圆方程，并整理，得.设，则有19④在方程中令，得的坐标为.从而.注意到三点共线，则有，即有.所以.⑤19将④代入⑤，得.又，所以.故存在常数符合题意.方法二：设，则直线的方程为，令，求得，从而直线的斜率为，联立得，19则直线的斜率为，直线的斜率为，所以，故存在常数符合题意.方法三移轴法：点P点O直线椭圆点F旧坐标新坐标设在新系下，，（显然直线不可能竖着)，可化为(1)，椭圆方程可化为（2）把（1）代入（2）化为齐次式，19上式可化为，，即又直经过，，注意到移轴过程中，所有直线的斜率都不变，其
6、中，，易求故存在常数，使得恒成立例4(2013陕西理)已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为。（1）求动圆圆心的轨迹的方程；19（2）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，若轴是的角平分线，证明直线过定点.分析（1）利用曲线方程的求法求解轨迹方程，但要注意结合图形寻求等量关系，（2）设出直线方程，结合直线与圆锥曲线的位置关系转化为方程的根与系数的关系求解，要特别注意判别式与位置关系的联系．解析（1）如图①，设动圆圆心，由题意，.当不在轴上时，过作交于，则是的中点，所以．又，所以.化简得，．19当在轴上
7、时，与重合，点的坐标也满足方程，所以动圆圆心的轨迹的方程为．（2）如图②，由题意，设直线的方程为，，，将代入中，得．其中．由根与系数的关系得，，①②因为轴是的角平分线，所以，即,19所以,所以，③将①②代入③并整理得，所以.此时，所以直线的方程为，即直线过定点．方法二：平移坐标系(1)(2)分析，轴为平分线，,故可联想用过“原点”的两直线解决此问题解析平移坐标系，使点B为原点，则点P点O抛物线旧坐标新坐标在新坐标系下，设19，(显然不能横着，故设成这种形式)可化为代入，可化为，其中，,轴为平分线,,,从而恒过，
8、在原坐标系下恒过点例5(2012重庆理)如图，设椭圆的中心为原点，长轴在轴上，上顶点为，左，右焦点分别为，，线段的中点分别为，且△是面积为的直角三角形.（1）求该椭圆的离心率和标准方程；（2）过直线交椭圆于，两点，使，求直线的方程.19（1）设所示椭圆的标准方程为，右焦点为.因为是直角三角形，又,故为直角，因此，得.结合得，故，所以离心率.在中，故.19由题设条件得，从而，因此所求椭圆
