构造对偶式证明不等式.doc

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1、构造对偶式证明不等式山东省平度第一中学数学组王尊甫（266700）例1（2009广东卷理）：已知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．（1）求数列的通项公式；（2）证明：.解：（1），∴（2）证明：方法一：数学归纳法(略)方法二：（放缩法）∵.∴由于，可令函数，即可证明。则有，即..方法三：设{an}的前n项积为Tn,，则可求，下面即可轻松证明，使左侧不等式得证。方法四：，可求知，故，则，即证。方法五：由题意知，记，构造对偶式，显然且，故，即证。例2(2009山东卷理)：等比数列{}的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上.（1

2、）求r的值；（11）当b=2时，记.证明：对任意的，不等式成立解:（1）,（2）当b=2时，,则,所以.下面证明不等式成立.方法一：数学归纳法（略）方法二：（放缩法）先行证明：(可此时却产生一个令人纠结的问题：放缩到什么程度才是适合的。故此法技巧性要求高)，然后累积法证明。方法三：设数列｛cn｝的前n项积为Tn=，则可求知。此时，若能证明，则本题即可轻松证明。方法四：由题意知，记，构造对偶式，显然，且，故，即证。例3：设数列的前n项和为，已知，（1）设，求数列的通项公式；（2）若，证明，对任意的，不等式恒成立。证明：（1）略；（2）方法一：设数列的前

3、n项和为，可求知，作差比较可知（可使用二项展开式进行判断），即，故结论可证。方法二：记，可求知，故，则，即证。方法三：由题意知，记，构造对偶式，，显然且，故，即证。