高三数学总复习平面向量

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1、高三数学总复习平面向量    [本周题目]平面向量  [本周重点]向量的运算与应用  [本周难点]向量的应用、向量与函数、三角、解析几何综合问题  [考点分析]  1.向量是数形结合的典型。向量的几何表示法----有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中,借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释,有时甚至更简捷。  向量运算中的基本图形:①向量加减法则:三角形或平行四边形法则;  ②实数与向量乘积的几何意义----共线;  ③定比分点基本图形----起点相同的三个向量终点共线等。  2.向量的三种运算及运算的三种形式。  向量的加减法,实数

2、与向量的乘积,两个向量的数量积都是向量的基本运算,前两者的结果是向量,两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式:图形、符号、坐标语言。  主要内容列表如下:  运算  图形语言  符号语言  坐标语言  加法与减法      记  则      .  实数与向量的乘积      记  则  两个向量的数量积      记    运算律  加法:  实数与向量的乘积:  两个向量的数量积:  说明:根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则,正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算,例如  3.重要定理、公式  (1)平面向

3、量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于该平面内任一向量,有且只有一对实数的线性组合。  根据平面向量基本定理,任一向量与有序数对(λ1,λ2)一一对应,称(λ1,λ2)为在基底下的坐标,当取为单位正交基底时定义(λ1,λ2)为向量的平面直角坐标。  向量坐标与点坐标的关系:当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若A(x,y),则;当向量起点不在原点时,向量坐标为终点坐标减去起点坐标,即若A(x1,y1),B(x2,y2),则  (2)两个向量平行的充要条件  符号语言:若  坐标语言:设若x1y2-x2y1=0在这里,实数λ是唯一存在的,当同向

4、时,λ>0;当异向时,λ>0。,λ的大小由的模确定。因此,当确定时,λ的符号与大小就确定了。  这就是实数乘向量中λ的几何意义。  (3)两个向量垂直的充要条件  符号语言:  坐标语言:设  (4)线段定比分点公式  如图,设  则定比分点向量式:  定比分点坐标式:设P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2)  则  特例:当λ=1时,就得到中点公式:    实际上,对于起点相同,终点共线三个向量(O与P1P2不共线),总有,即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量,且系数和为1。  (5)平移公式:  ①点平移公式,如果点P(x,y)按,平移至P

5、'(x',y'),则分别称(x,y),(x',y')为旧、新坐标,为平移向量  在点P新、旧坐标及平移向量三组坐标中,已知两组坐标,一定可以求第三组坐标  ②图形平移:设曲线C:f(x,y)=0按平移,则平移后曲线C'对应的解析式为f(x-h,y-k)=0利用平移变换可以化简函数解析式,从而便于研究曲线的几何性质  4.向量既是重要的数学概念,也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直,线线平行,求夹角等,特别是直角坐标系的引入,体现了向量解决问题的“程序性”特点。  [本周例题]  一.向量的有关概念与运算  此类题经常出现在选择题与填空题中,在复习中要充分理解平

6、面向量的相关概念,熟练掌握向量的坐标运算、数量和运算,掌握两向量共线、垂直的充要条件、定比分点公式、平移公式。  例1.已知a=(5,4),b=(3,2),则与2a-3b平行的单位向量为_____  [点拨]与一个非零向量a共线的单位向量有两个:与a同向的单位向量,与a反向的单位向量,求与已知向量平行的向量常用坐标运算。  [解析]法一:∵2a-3b=2(5,4)-3(3,2)=(1,2)      法二:令e=(x,y)  ∵2a-3b=(1,2),且e与2a-3b平行  ∴x-2y=0,①又∵x2+y2=1②  由①②解得  [变式练习]已知b是a=(-3,4)垂

7、直,且

8、b

9、=15,求b  答案:(12,9)或(-12,-9)  例2.已知

10、a

11、=1,

12、b

13、=1,a与b的夹角为60°,x=2a-b,y=3b-a,则x与y的夹角是多少?  [点拨]要计算x与y的夹角,需求出

14、x

15、,

16、y

17、,x·y的值,可利用

18、x

19、2=x2求解。  [解析]由已知

20、a

21、=

22、b

23、=1,a与b的夹角为60°,得        又    [点评]①本题利用模的性质

24、a

25、2=a2  ②在计算x,y的模长时,还可以借助向量加法、减法的几何意义获得:  如图所示,设。由向量减法的几何意义,得。由余弦定理易得  [变式练习1](2004年高考浙

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