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1、高三数学总复习平面向量 [本周题目]平面向量 [本周重点]向量的运算与应用 [本周难点]向量的应用、向量与函数、三角、解析几何综合问题 [考点分析] 1.向量是数形结合的典型。向量的几何表示法----有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中，借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释，有时甚至更简捷。 向量运算中的基本图形：①向量加减法则：三角形或平行四边形法则； ②实数与向量乘积的几何意义----共线； ③定比分点基本图形----起点相同的三个向量终点共线等。 2.
2、向量的三种运算及运算的三种形式。 向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都是向量的基本运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。 主要内容列表如下： 运算 图形语言 符号语言 坐标语言 加法与减法 记 则 . 实数与向量的乘积 记 则 两个向量的数量积 记 运算律 加法： 实数与向量的乘积： 两个向量的数量积： 说明：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实
3、数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如 3.重要定理、公式 (1)平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量，有且只有一对实数的线性组合。 根据平面向量基本定理，任一向量与有序数对(λ1，λ2)一一对应，称(λ1，λ2)为在基底下的坐标，当取为单位正交基底时定义(λ1，λ2)为向量的平面直角坐标。 向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即
4、若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (2)两个向量平行的充要条件 符号语言：若 坐标语言：设若x1y2-x2y1=0在这里，实数λ是唯一存在的，当同向时，λ>0；当异向时，λ>0。，λ的大小由的模确定。因此，当确定时，λ的符号与大小就确定了。 这就是实数乘向量中λ的几何意义。 (3)两个向量垂直的充要条件 符号语言： 坐标语言：设 (4)线段定比分点公式 如图，设 则定比分点向量式： 定比分点坐标式：设P(x，y)，P1(x1,y1)，P2(x2,y2) 则 特例：当λ=1时，就得到
5、中点公式： 实际上，对于起点相同，终点共线三个向量(O与P1P2不共线)，总有，即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量，且系数和为1。 (5)平移公式： ①点平移公式，如果点P(x，y)按，平移至P'(x'，y')，则分别称(x,y),(x',y')为旧、新坐标，为平移向量 在点P新、旧坐标及平移向量三组坐标中，已知两组坐标，一定可以求第三组坐标 ②图形平移：设曲线C：f(x,y)=0按平移，则平移后曲线C'对应的解析式为f(x-h,y-k)=0利用平移变换可以化简函数解析式，从而便于研究曲线
6、的几何性质 4.向量既是重要的数学概念，也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直，线线平行，求夹角等，特别是直角坐标系的引入，体现了向量解决问题的“程序性”特点。 [本周例题] 一.向量的有关概念与运算 此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量和运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件、定比分点公式、平移公式。 例1.已知a=(5,4),b=(3,2)，则与2a-3b平行的单位向量为_____ [点拨]与一个非零向量a共线的单位向量有两个：与a
7、同向的单位向量，与a反向的单位向量，求与已知向量平行的向量常用坐标运算。 [解析]法一：∵2a-3b=2(5,4)-3(3,2)=(1,2) 法二：令e=(x，y) ∵2a-3b=(1,2)，且e与2a-3b平行 ∴x-2y=0，①又∵x2+y2=1② 由①②解得 [变式练习]已知b是a=(-3,4)垂直，且
8、b
9、=15，求b 答案：(12,9)或(-12，-9) 例2.已知
10、a
11、=1，
12、b
13、=1，a与b的夹角为60°，x=2a-b，y=3b-a，则x与y的夹角是多少？ [点拨]要计算x与
14、y的夹角，需求出
15、x
16、,
17、y
18、，x·y的值，可利用
19、x
20、2=x2求解。 [解析]由已知
21、a
22、=
23、b
24、=1，a与b的夹角为60°，得 又 [点评]①本题利用模的性质
25、a
26、2=a2 ②在计算x，y的模长时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得： 如图所示，设。由向量减法的几何意义，得。由余弦定理易得 [变式练习1](2004年高考浙
