导数培优高考题及解答

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1、导数高考题1.已知函数，求导函数，并确定的单调区间．解：．令，得．当，即时，，所以函数在和上单调递减．当，即时，的变化情况如下表：0当，即时，的变化情况如下表：0所以，时，函数在和上单调递减，在上单调递增，时，函数在和上单调递减．时，函数在和上单调递减，在上单调递增．点评：本组题旨在强化对函数定义域的关注，以及求导运算和分类讨论的能力与技巧。2.已知函数其中.当时，求函数的单调区间与极值.以下分两种情况讨论.（1）＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表：f'(x)+0—0+f(x)↗极大值↘极小值↗

2、（2）＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：f'(x)+0—0+f(x)↗极大值↘极小值↗点评：此题计算量略增，旨在帮助学生进一步提升对此类问题的认识和处理能力.3.已知函数的图象过点，且函数的图象关于y轴对称.（Ⅰ）求的值及函数的单调区间；（Ⅱ）若，求函数在区间内的极值.解：（Ⅰ）由函数图象过点，得，………①由，得，则；而图象关于轴对称，所以－，所以，代入①得.于是.由得或，故的单调递增区间是，；由得，故的单调递减区间是.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，令得或.当变化时，、的变化情况如下表：f'(x)＋0－0

3、＋f(x)增极大值减极小值增由此可得：当时，在内有极大值，无极小值；当时，在内无极值；当时，在内有极小值，无极大值；当时，在内无极值.综上所述，当时，有极大值，无极小值；当时，有极小值，无极大值；当或时，无极值.点评：本题考查了对导函数零点的分类讨论，但讨论的直接对象变为了函数自变量的研究范围，故此题思路不难，旨在帮助学生加深对此类问题本质的认识，并提升其详尽分类，正确计算的水平.4.已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是.（I）求函数的解析式；（II）设函数，若的极值存在，求实数的取值范围以及函

4、数取得极值时对应的自变量的值.解：（I）由已知,切点为(2,0),故有,即……①又，由已知得……②联立①②，解得.所以函数的解析式为（II）因为令当函数有极值时，方程有实数解.则，得.①当时，有实数，在左右两侧均有，故无极值②当时，有两个实数根情况如下表：+0-0+↗极大值↘极小值↗所以在时，函数有极值；当时，有极大值；当时，有极小值；点评：（1）本题第一问是求曲线切线的逆向设问，解题过程进一步强化了对切点的需求.（2）本题第二问是函数求极值的逆向设问，解题方法本质仍然是求含参数的函数的极值，难度

5、不大.5.已知函数，其中（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若的最小值为1，求a的取值范围.解:（Ⅱ）∵∴①当时，在区间∴的单调增区间为②当时，由∴（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）①知，所以.当时，由（Ⅱ）②知，在处取得最小值所以，不成立.综上可知，若得最小值为1，则a的取值范围是点评：（1）本题第三问是求函数最值的逆向问题，解题时根据单调性研究的分类标准，将验证参数取值范围是否成立，是计算量较小，但不容易发现的方法.（2）本题若用一般方法，则可将问题转化为f(x)≥1的恒成立问题，此种解法的计算量将有所加大.6.已知

6、a是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求a的取值范围.解：若,,显然函数在上没有零点.若，令,解得①当时,恰有一个零点在上;②当，即时，在上也恰有一个零点.③当在上有两个零点时,则或解得或，综上，所求实数的取值范围是或.点评：本题以二次函数为载体，设定在区间范围上的零点存在性问题，解答时依零点个数进行分类讨论，涉及到含参二次方程根的分布研究、零点存在性定理.是原型问题和重点题.7.已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在=－1处取得最小值m－1(m).设函数（1）若曲线上的点P到点Q(0,2)

7、的距离的最小值为,求m的值；（2）如何取值时,函数存在零点,并求出零点.解：（1）设，则；又的图像与直线平行，解得又在取极小值，∴，解得，解得；所以，设，则,解得；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）由，得当时，方程有一解，函数有一零点；当时，方程有二解，若，，有两个零点；若，，有两个零点；当时，方程有一解，即,有一零点点评：（1）本题第一问是涉及均值定理的最值问题，题目计算量中等，思维难度不大；（2）第二问涉及到的函数为二次函数，故而用含参二次方程的根系关系研究根的分布问题，是本部分的原

8、型问题和重点问题.