周末培优(导数及应用)

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1、周末培优（导数及应用）2017-03-23一、选择题(本大题共6小题，共30.0分)1.已知函数f（x）=kx，g（x）=，若关于x的方程f（x）=g（x），在区间[，e]内有两个实数解，则实数k的取值范围是（　　）A.[，） B.（，] C.（0，） D.（，+∞）2.已知函数f（x）=ex（x-b）（b∈R）．若存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，则实数b的取值范围是（　　）A.（-∞，） B.（-∞，） C.（-，） D.（，+∞）3.已知函数f（x）的图象与函数y=x3-3x2+2的图象关于点（，0）对称，过点（1，t）仅能作曲线y=f（x）的一条切线，则实数t的取

2、值范围是（　　）A.（-3，-2）           B.[-3，-2]C.（-∞，-3）∪（-2，+∞）    D.（-∞，-3）∪[-2，+∞）4.设f'（x）是函数f（x）定义在（0，+∞）上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是（　　）A. B. C. D.5.已知奇函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f′（x），当x＞0时有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）+4f（-2）＜0的解集为（　　）A.（-∞，-2012）         B.（-2016，-2012）C.（-∞，-2016）         D.（-2016，0

3、）6.已知曲线y=ex+a与y=（x-1）2恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为（　　）A.（-∞，2ln2+3）         B.（-∞，2ln2-3）C.（2ln2-3，+∞）         D.（2ln2+3，+∞）二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)7.已知函数y=ex与函数y=lnx的图象关于直线y=x对称，请根据这一结论求：lnxdx=______．8.=______．9.若f（x）=2x3-3x2-12x+3在区间[m，m+4]上是单调函数，则实数m的取值范围为______．10.已知函数f（x）=有且仅有三个极值点，则a的取值范围是______．三、解答题

4、(本大题共5小题，共60.0分)高中数学试卷第11页，共12页11.已知函数f（x）=x3+x-16．（1）求满足斜率为4的曲线的切线方程；（2）求曲线y=f（x）在点（2，-6）处的切线的方程；（3）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程．12.已知函数f（x）=ax2-lnx，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）是否存在实数a，使函数f（x）在区间（0，e]上的最小值为，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．高中数学试卷第11页，共12页13.已知函数f（x）=lnx+，a∈R（1）当a=2时，试比较f（x）与1的大

5、小；（2）求证：ln（n+1）＞+++…+（n∈N*）14.已知函数f（x）=ex（ax+2）（e为自然对数的底数，a∈R为常数）．对于函数g（x），h（x），若存在常数k，b，对于任意x∈R，不等式g（x）≤kx+b≤h（x）都成立，则称直线y=kx+b是函数g（x），h（x）的分界线．（Ⅰ）若a=-1，求f（x）的极值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）设a=2，试探究函数g（x）=-x2+4x+2与函数f（x）是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由．高中数学试卷第11页，共12页15.已知函数f（x）=x-alnx-．（Ⅰ）当a-b=1，a＞1时，讨论

6、函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当b=-1，a≤4时，不等式f（x）＜-在区间[2，4]上恒成立，求实数a的取值范围．周末培优（导数及应用）答案和解析【解析】1.解：由f（x）=g（x），∴kx=，∴k=，令h（x）=，∵方程f（x）=g（x）在区间[，e]内有两个实数解，∴h（x）在[，e]内的图象与直线y=k有两个交点．∴h′（x）=，令h′（x）=0，则x=，当x∈[，]内h′（x）＞0，当x∈[，e]内h′（x）＜0，当x=，h（x）=，当x=e时，h（e）=，当x=，h（x）=-e2，故当k∈[，）时，该方程有两个解．故选：A．将方程的解的个数问题转化为函数的图象的交点个数问题；通

7、过导数研究函数的单调性及极值；通过对k与函数h（x）的极值的大小关系的讨论得到结论．高中数学试卷第11页，共12页本题考查通过导函数研究函数的单调性、求函数的极值、求函数交点的个数．2.解：∵f（x）=ex（x-b），∴f′（x）=ex（x-b+1），若存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，则若存在x∈[，2]，使得ex（x-b）+xex（x-b+1）＞0，即b＜在[，2]恒成立，令g（x）=，x∈[，2]，则g′（x）