多元函数的黑赛矩阵分析法

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1、多元函数的黑赛矩阵分析法2.1n元函数的泰勒展开式（二阶情况）根据多元函数的二阶泰勒展开式，可知其中2.2多元函数极值的必要条件若函数在点存在偏导数，且在取得极值，则有其偏导数组成的向量为零向量，点称为稳定点。证略2.3多元函数极值的充分条件设多元函数在点的某邻域内内具有二阶连续偏导数，且是的稳定点。则当是正定矩阵时，在取得极小值；当是负定矩阵时，在取得极大值；当是不定矩阵时，在不取极值。证由在的二阶泰勒公式，并注意到，有因为正定，所以对任意，恒有二次型，因为其中因为是内的元连续函数，且恒大于零，根据连续函数的性质，存在一个确定的，使得，即有，而的二阶泰勒余项为的高阶无穷小量，故存在点的某邻域

2、使得，即有恒成立。故可证点为多元函数的极小值点。而当为不定时，在不取极值，以二元函数为例，当取得极值时（例如取得极大值），则沿任何过的直线在亦取得极大值。有一元函数取极值的充分条件，是不可能的（否则在将取得极小值），故。而这表明必须是负半定。同理，倘若取极小值，则将导致必为正半定。也就是说，当在取得极值时，必须是正半定或负半定矩阵，但这与假设相矛盾。[1]华东师范大学数学系．数学分析下册（第三版）[M]．北京：高等教育出版社，2001（2008重印）：137方便起见，以下复述矩阵正（负）定的判别法：[2]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组．高等代数（第三版）[M]．北京：高等教育出版社，

3、2003.9（2008重印）:226-232实二次型矩阵是正（负）定的充要条件是矩阵的顺序主子式全大于（小于）零；实二次型矩阵是半正（负）定的充要条件是矩阵的所有主子式皆大于或等于（小于或等于）零；一个注意要点多元函数的黑赛矩阵不是正(负）定并不意味着不取极值，即正（负）定仅为充分条件，而非必要条件。如二元函数，易知在上有极小值0，且有，在上为稳定点。但有，即黑赛矩阵为半正定的。但这不影响函数在在上取极小值。应用举例求函数的极值解求得一阶偏导数为，易知时有偏导数为零向量，代入二阶黑赛矩阵可知其为正定阵，为极小值点。