矩阵变量的矩阵值函数的导数

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1、交通科学第28卷第3期武汉理工大学学报(与工程版)Vol.28No.32004年6月JournalofWuhanUniversityofTechnologyJune2004(TransportationScience&Engineering)矩阵变量的矩阵值函数的导数吴华安(武汉理工大学理学院武汉430063)摘要:利用矩阵的Kronecker积,对矩阵变量给出了矩阵微分算子,任一矩阵值函数关于矩阵变量的导数定义为矩阵微分算子与矩阵值函数的右Kronecker积,从而通常的一元函数的导数、多元函数的偏导数、梯度

2、等概念都可作为其特殊情形.文中得出了矩阵微分算子的三条基本性质并由此建立了函数矩阵的导数、数量函数对矩阵变量的导数及矩阵值函数对矩阵变量的导数之间的联系.作为Kronecker积的另一应用,文中得出了矩阵方程AX=XB有非零解矩阵的充分条件是:当K1,K2,⋯,Ks是n阶矩阵A与B的全部互异特征值,ki,ri分别为Ki在矩阵A与B中的重数时,s∑kiri≥1.i=1关键词:卡氏积;矩阵值函数;导数中图法分类号:O151.21在矩阵分析中,由于函数矩阵的导数、数量函5f115f1q⋯5xij5xij数对矩阵变量的

3、导数及矩阵值函数对矩阵变量的5F导数的定义形式有很大的不同,难以看出它们之5x=⋯ij间的联系[1].文中利用矩阵的卡氏积的概念对此5fp15fpq⋯5xij5xij作统一处理,可使相关概念有机地联系起来.m×ln×k由此定义不难看出,当X=(t),F(X)=如果A=(aij)m×l∈C,B=(bij)n×k∈C,[2]dF′则A与B的右卡氏积定义为矩阵[f(t)]时,=f(t)是通常的函数导数.当X=dXa11B⋯a1lBTdF(x1,x2,⋯,xn)是向量,F(X)=[f(X)]时,AáRB=⋯=dXT5f

4、5f5fam1B⋯amlB=,,⋯,即为n元函数f(X)的导5x15x25xnmn×lk(aijB)m×l∈CdF数.若X为行向量,则=grad(F).类似地,A与B的左卡氏积定义为AáLB=dX(Abmn×kl矩阵值函数的导数有以下一些基本性质.ij)n×k∈C.仿此,还可定义分块矩阵的左、右卡氏积.定理1设X=(xij)m×n,F(X)=X,令Eij是定义1设X=(xij)m×n是矩阵变量,F(X)m×n矩阵,其中第i行,第j列的元素为1,其余=f~m2×n2dX~pq(X)s×t是矩阵值函数.令元素为0.

5、记E=(Eij)m×n∈R,则=E.dX55=dF55X5X5xijm×n证明=áRX=()m×n=dX5X5xij称为矩阵变量微分算子.定义(E~ij)m×n=E.dF=5á5F定理2设X如上,F(X)=[fpq(X)]s×t,RF=dX5X5xijm×nG(X)=[gpq(X)]s×t则为矩阵值函数的导数,其中第i,j位置的块矩阵¹收稿日期:20040217吴华安:男,49岁,理学硕士,主要研究领域为纽结理论、矩阵代数、小波理论¹第3期吴华安:矩阵变量的矩阵值函数的导数·411·-1d(F+G)dFdGdF

6、-1dF-1=+时,=-FF.dXdXdXdtdtd(F+G)5dF证明因为=áR(G+F)=证明当X=(t)为1阶矩阵时,dt是1×1dX5X55dFdG分块矩阵,由分块矩阵的卡氏积的定义,áRF+áRG=+.5X5XdXdX-1dF-1dF-1dF-1FáL=F.同理,(F)áRF=定理3设X同上,F(X)=[flm(X)]p×t,dtdtdtG(X)=[glm(X)]t×q,则(F-1dF)F-1.于是由推论2即得结论.dtd(FG)dFdG=áRG+FáLdXdXdX利用卡氏积的概念,还可得出矩阵乘积可

7、换t的条件.[3]证明FG=(∑flkgkm)p×q利用求导法[2]m×nk=1定义2设A∈C,将A按列分块,A=则,有(A·1,A·2,⋯,A·n),则向量tt5(FG)5flk5gkmAõ1=(∑gkm+∑flk)p×q=5xijk=15xijk=15xijAõ2tt∈Cmn5flk5gkm(∑gkm)p×q+(∑flk)p×q=k=15xijk=15xijAõn5F5G5xijG+F5xij称为A的向量值函数,记为vec(A).向量值函数的一个主要结果是于是,得[2]m×mn×nd(FG)55(FG)定理

8、4设A∈C,B∈C,则=áR(FG)=()m×n=TdX5X5xijvec(AXB)=(BáRA)vecX.5F5G证明见文献[2].(õG)m×n+(Fõ)m×n=5xij5xijn×n定理5设矩阵A,B∈C,矩阵A及B的dFdGáRG+FáL=全部互异的特征值是K1,K2,⋯,KsdXdXA与B的特征多项式分别为Fkkk(K-K12s1)(K-K2)⋯(K-Ks),dFFdGG+r