三角形面积公式的坐标式及应用

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1、三角形面积公式在解题中的应用湖南省慈利县第一中学（427200）卢伯友本文介绍顶点为，的三角形的面积公式，并说明它在解题中的应用。公式设，，则的面积（1）证明：直线的两点式方程为，即，点到直线的距离为所以，的面积。我们把上面的公式（1）叫做三角形面积公式的坐标式。它结构简单，形式优美，好记好用。用它解决近几年高考试题中与三角形面积有关的某些解析几何问题，能起到化繁为简，化能为易的作用。下面通过三个例题谈公式的应用。例1、（2011年山东理科第22题）已知直线与椭圆交于，两不同点，且的面积,其中为坐标原点。（Ⅰ）证明和均为定值;（Ⅱ）

2、设线段的中点为,求的最大值；（Ⅲ）椭圆上是否存在点,使得,若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由。分析：设；。代人公式（1）得：，又因为，所以，，即，。所以，，故。同理，所以和均为定值。（Ⅱ）（Ⅲ）略评析：这里应用三角形面积公式的坐标式及用椭圆的参数方程形式表示椭圆上的点的坐标，将已知条件转化为三角函数求值问题，避免了复杂的运算。使解题过程清晰流畅，令人赏心悦目，流连忘返。例2（2007年陕西理科第21题）已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于、两点，坐标原点到直线的距离为，求面

3、积的最大值分析：（Ⅰ）（过程略）。（Ⅱ）设，由公式（1）知的面积由柯西不等式取等号的条件，可得面积的最大值为评析：三角形面积公式的坐标式和柯西不等式联手，大大简化了计算过程和解题长度。例3（2009年陕西理科第21题）已知双曲线的方程为离心率，顶点到渐近线的距离为（Ⅰ）求双曲线的方程（Ⅱ）是双曲线上一点，、两点在双曲线的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若,，求的面积的取值范围分析：（Ⅰ）（过程略）（Ⅱ）由第（Ⅰ）问知双曲线的两条渐近线方程为，设由公式（Ⅰ）知又由得的坐标，为，将点的坐标代入双曲线方程，化简得记得，又当时，取最小

4、值2，当时，取最大值面积的取值范围是评析：在寻找目标函数的过程中，以坐标为桥梁，将的面积表示为。这里，恰当设出动点的坐标并由将点的坐标用两点的坐标表示是解题的基础。下面，提供一道练习供同学们思考：（2006年上海高考题）已知椭圆的方程为，点的坐标是，过原点的直线交椭圆于两点，求面积的最大值。（答案：）