三角形面积变形公式的应用

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1、三角形面积变形公式的应用王利超本文结合实例，介绍一个面积公式的变形（a，b为三角形两边长，∠C为a，b边的夹角）。已知：如图1，在△ABC中，a，b是边长，∠C是a，b边的夹角。求证：。图1证明：如图1，作底边BC上的高AH，设其长为h。在Rt△AHC中，sinC，可得h=b·sinC。。说明：这个公式对于任意三角形均适用，但初中阶段尚未学习钝角的三角函数，我们只讨论夹角为锐角的情况。例已知△ABC，分别以AB，BC，CA为边向形外作等边三角形ABD、等边三角形BCE、等边三角形ACF。（1）如图2，当△ABC是等边三

2、角形时，请你写出满足图中条件的四个成立的结论。图2（2）如图3，△ABC中只有∠ACB=60°时，请你证明S△BCE与S△ACF的和等于S△ABC与S△ABD的和。图3解：（1）在图2中，四个等边三角形组成一个大的等边三角形，图形很特殊，条件也很多。如图2中菱形就有ABEC，DACB，ABCF等。这些特殊图形中，写出四个成立的结论应该不是难事。①图形DAFCEB构成一个△DEF；②△DFE是等边三角形；③△ABC的面积是△DEF的面积的；④AB∥EF；⑤BCDF。（2）方法1：如图4，过A作AM⊥BC于M，设BC=a，

3、AC=b，AM=h。图4S△BCE+S△ACF==S△ACB=。在Rt△ACM中，由∠ACB=60°可得CM=，AM=则。在Rt△AMB中，所以方法2：如图5，过A作AM∥FC交BC于M，连接DM，EM，显然∠ACB=∠CAF，得AF∥MC，四边形AMCF为平行四边形。又因为FA=FC，所以平行四边形AMCF为菱形，故AC=CM=AM，∠MAC=60°。在△BAC与△EMC中，CA=CM，∠ACB=∠MCE，CB=CE，所以△BAC≌△EMC，得BA=EM。△ADM≌△ABC，得DM=BC。图5所以DM=EB，DB=E

4、M，四边形DBEM为平行四边形。，即此公式还可以推广到平行四边形中。设平行四边形相邻两边的长为a，b，锐内角为α，则S=absinα。