【步步高】届高三数学大一轮复习 二项式定理学案 理 新人教a版

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1、学案65　二项式定理导学目标：1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．自主梳理1．二项式定理的有关概念(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)，这个公式叫做______________．①二项展开式：右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式．②项数：二项展开式中共有________项．③二项式系数：在二项展开式中各项的系数________(k＝______________)叫做二项式系数．④通项：在二项展开式中的_______

2、_________叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第k＋1项：Tk＋1＝____________________.2．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端________的两个二项式系数相等．(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项二项式系数________________取得最大值；当n为奇数时，中间的两项二项式系数____________、________________________相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝______，C＋C＋C＋…＋C＝__

3、______，C＋C＋C＋…＋C＝________.自我检测1．(2011·福建)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于(　　)A．80B．40C．20D．102．(2011·陕西)(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是(　　)A．－20B．－15C．15D．203．(x－y)10的展开式中x6y4项的系数是(　　)A．840B．－840C．210D．－2104．(2010·四川)6的展开式中的第四项是______．5．(2011·山东)若(x－)6展开式的常数项为60，则常数a的值为________．6．(201

4、1·烟台期末)已知n为正偶数，且n的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是__________．(用数字作答)探究点一　二项展开式及通项公式的应用例1　已知在n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．9变式迁移1　(2010·湖北)在(x＋y)20的展开式中，系数为有理数的项共有________项．探究点二　二项式系数的性质及其应用例2　(1)求证：C＋2C＋3C＋…＋nC＝n·2n－1；(2)求S＝C＋C＋…＋C除以9的余数．变式迁移2　(2011·上海卢湾

5、区质量调研)求C＋C＋…＋C＋…＋C的值．探究点三　求系数最大项例3　已知f(x)＝(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．变式迁移3　(1)在(x＋y)n的展开式中，若第七项系数最大，则n的值可能等于(　　)A．13,14B．14,15C．12,13D．11,12,139(2)已知n，(ⅰ)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数的最大项的系数；(ⅱ)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中

6、系数最大的项．1．二项式系数与项的系数是不同的，如(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中，第r＋1项的二项式系数是C，而第r＋1项的系数为Can－rbr.2．通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数．在运用公式时要注意：Can－rbr是第r＋1项，而不是第r项．3．在(a＋b)n的展开式中，令a＝b＝1，得C＋C＋…＋C＝2n；令a＝1，b＝－1，得C－C＋C－C＋…＝0，∴C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1，这种由一般到特殊的方法是“赋值法”．4．二项式系数的性质有：(1)在二项展

7、开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C＝C，C＝C，C＝C，…，C＝C.(2)如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．5．二项式定理的一个重要作用是近似计算，当n不是很大，

8、x

9、比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.利用二项式定理还可以证明整除性问题或求余数问题，证题时要注意变形的技巧．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·山东实验中学模拟)在24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有(　　)A．3项B．4项C．5

10、项D．6项2．(2011·重庆)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n等于(　　)A．6B．7C．8D．993．(2011·黄山期末)在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是(　　)A．－7B．7C．－28D．284．(2010·烟台