732.分类思想在中学数学中的应用

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1、分类思想在中学数学中的应用提要： 数学中的分类思想，实质上就是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同种类的思想方法。在教学中，无论概念的剖析，命题的论证，还是知识的整理和系统化，都贯穿着分类思想，具有积极的指导意义。在解题中有利于培养和发展学生思维的条理性、缜密性、灵活性，使学生学会完整地考虑问题、化整为零地解决问题，学生只有掌握了分类的思想方法，才不会出现漏解的情况。关键词：分类思想数学教学解题分析应用近年来，国际数学教育界提出“大众数学”、“人人都要学会的数学”等口号。其含义有两层：一是数学要为大众所掌握；二是大众所需要的数学，要为大众所利用 。为此，我国

2、提出在义务段进行素质教育，力求使每个学生在本身原有素质基础上，获得和谐和充分的发展，从而提高其身体素质、思想素质、文化素质，使学生学会生活，学会学习，学会创造，学会自我教育，具备现代社会的适应能力和生存能力。数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在中学数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新课程标准，也是进行数学素质教育的一个切入点。数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想。具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。运用分类讨论的思想解决的数学问题

3、，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化，又能促进学生研究问题，探索规律的能力。教学中可以从以下几个方面，让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对分类思想的主动应用。一、渗透分类思想，养成分类的意识学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透

4、，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数的分类，绝对值的意义，不等式的性质等，都是渗透分类思想的很好机会。用字母a表示任意数后，可对a进行分类，得出正数、零、负数三类。在学习绝对值的意义时，引导学生得到如下分类：10a>0

5、a

6、=a=0a<0通过对正数、零、负数的绝对值的认识，了解如何用分类讨论的方法学习理解数学概念。又如，两个有理数的比较大小，可分为：正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较，反复渗透，强化数学分类思想，使学生逐步形成数学学习中的分类的意识。并能在分类讨论的时候注意一些基本原则，如分类的对象是确定的，标准是统一的，如若

7、不然，对象混杂，标准不一，就会出现遗漏、重复等错误。在确定对象和标准之后，还要注意分清层次，不越级讨论。二、学习分类方法，增强思维的缜密性在教学中渗透分类思想时，应让学生了解，所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每一子类的问题加以解答。掌握合理的分类方法，就成为解决问题的关键所在。分类的方法常有以下几种：1、在处理绝对值问题方面的应用去绝对值号，需要考虑绝对值符号里面的值。如果绝对值符号里面的值小于0，去掉绝对值符号后，要在绝对值符号里面的代数式前添负号；其它情况，可以直接把绝对值符号去掉。因此，假如数学问题里含有绝对值符

8、号，而且绝对值符号里面的代数式值不确定，那么在解题时就需要讨论。[例1].化简：

9、x+3

10、+(x+3)因为x是实数，x+3可能小于0，也可能不小于0。因此，解答这一题，需要针对x+3的取值进行讨论。第一种情况：当x+3＜0时，原式=-（x+3）+(x+3)=0.第二种情况：当x+3≥0时，原式=（x+3）+(x+3)=2x+6.　[例2].已知方程

11、x

12、=ax+1有一个负根而且没有正根，那么a的值范围是()　　A.a＞-1　　　　B.a=1　　　C.a≥1　　　　　D.都不对　　解：由已知方程显然可知x≠0，故按x＞0和x＜0两种情况进行讨论.10　　(1)若x＜0

13、时，则-x=ax+1，∴-(a+1)x=1,x=-,　　由x＜0-＜0，有a＞-1；(2)若x＞0时，则x=ax+1,∴x=由x＞0＞0，有a＜1；　　当x＞0a＜1，根据题设方程无正根，于是a＜1不成立，从而a≥1成立.　　综合(1)、(2)知a≥1，应选(C).2、根据数学的法则、性质或特殊规定进行分类学习一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式(⊿=b2-4ac)时，对于变形后的方程用两边开平方求解，需要分类研究⊿＞0，⊿=0，⊿＜0这三种情况对应方程解的情况。而此题⊿的符号决定能否开平方，是分类的依据。从而得到一元二次方程根的三种情况。　　[例3].