分类讨论思想在中学数学中的应用.doc

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1、期中论文课程：中学数学解题研究题目：分类讨论思想在中学数学中的应用姓名：沙瑞珠学号：班级：2011级数学与应用数学2班分类讨论思想在中学数学中的应用摘要：分类讨论是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，它在人的思维发展中有着重要的作用，它贯穿于整个中学数学．它能揭示数学对象之间的内在规律，有助于总结归纳数学知识，使所学知识条理化．本文依次阐述分类讨论思想的含义，分类讨论思想的标准和分类讨论的原则．并重点举例说明分类讨论思想在三角形，一元二次方程，集合，绝对值问题，不等

2、式，函数，数列和排列组合中的应用等．关键词：分类讨论数学思想解题策略中学数学1引言数学思想史对数学理论和内容的本质认识，是对数学规律的理性思考．有位著名的教育家曾经说过：真正的教育旨趣在于即使学生把教给他的所有知识都忘记了，但还有能使得他受用终生的东西，那种教育才是最高最好的教育．这里“受用终生的东西”在数学里就是指数学的基本思想方法．从而在数学教学中注重数学思想方法的渗透是极其重要的．分类讨论思想是一种非常重要的数学思想，它又称“逻辑化分思想”，它是把所要研究的数学对象划分为若干不同的情形，然后再分别进行研究和求解的一种数学

3、思想.有关分类讨论的题目具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点.难度有易，有中，也有难.题型可涉及任何一种题型，知识领域方面，可以“无孔不入”地渗透到每个数学知识领域.所以探讨分类讨论思想在中学数学中的应用是具有实际意义的．2简述分类讨论思想每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法

4、及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想．通过对复杂多变的事物按照一定的标准进行恰当的分类，有助于更为准确完整地认识事物，恰当的分类应该是既不重复又不遗漏．3分类讨论思想的标准一般地，在集合A上讨论某一数学问题时，可根据某个标准P，把A划分为子类，这时，在上实施对问题的讨论等价于在A上实施对问题的讨论，把P就叫做分类讨论的标准．例如，对方程及来说，判断方程实根的情况其分类讨论的标准是还是还是，这时

5、我们可以简单的说按分类．又如，讨论函数的单调性，其分类讨论标准是还是，可以理解为按分类．又如的值，其分类讨论标准可确定为是奇数还是偶数，并可简单的认为按分类．4分类讨论的原则为了解决数学问题中的矛盾，分类旨在化大为小，化小为了，操作程序是各个击破．一般地，在集合A上讨论某一数学问题有困难时，可按某一分类标准P把A划分为的并集，而后，分别在上讨论这个数学问题与在A上讨论这个数学问题相比较，其效果是一样的．分类时，要遵循以下三条原则：①；②；③；下面阐述这三条原则各自的作用.“①”可以保证问题不是在空集上讨论的，否则的话也就没有什

6、么意义了；“②”可以保证问题不会重复，也就是说，在上讨论问题，肯定不含中的元素；在上讨论问题，肯定不含中的元素；“③”可以保证问题不会遗漏，也就是说，分别在上讨论问题，其总和等于在A上讨论同一问题．5分类讨论思想在中学数学中的应用5.1分类讨论思想在三角形中的应用5.1.1三角形的边长不明确时需分类讨论例1如果三角形的两边长分别是23cm和10cm,第三边与其中的一边长相等，那边第三边的长是多少？分析：由于题中所求的第三边与其中一边相等,不明确具体,因此需分两种情况讨论．解①当第三边的长为23cm时,其三边长分别为23cm、2

7、3cm、10cm,它们满足三角形三边关系:两边之和大于第三边.因此,这三边构成三角形.所以第三边的长为23cm；②当第三边的长为10cm时,其三边长分别为10cm、10cm、23cm,因为，所以它不能构成三角形,故第三边长不能为10cm．综上所述,第三边的长为23cm．例2:已知直角三角形两条边长为3和4，则第三边长为___.分析：分类讨论：当4为直角边时，则另外一直角边为3。则第三边长为5。当4为斜边时，则另一直角边为3，那么第三边长为√7.评注题中的条件：“第三边与已知两边的其中一边相等”，存在两种情况,这就是我们需进行分

8、类讨论的依据.若不作两种情况的分类讨论就是思维不慎密,将会出现漏解或错解．5.1.2三角形的高不明确时需分类讨论例1在三角形ABC中,AB=8，，AC=5，则BC等于多少？分析根据题意可知，ABC不是边AB和边AC的夹角，所以三角形ABC的形状不确定，因此需进行分类讨论，才能