高二数学(人教b版)选修2-1全册同步练习：3-2-3直线与平面的夹角

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1、3.2.3直线与平面的夹角一、选择题1．已知平面α内的角∠APB＝60°，射线PC与PA、PB所成角均为135°，则PC与平面α所成角的余弦值是(　　)A．－　　　B.　　　C.　　　D．－[答案]　B[解析]　由三余弦公式知cos45°＝cosα·cos30°，∴cosα＝.2．三棱锥P—ABC的底面是以AC为斜边的直角三角形，顶点P在底面的射影恰好是△ABC的外心，PA＝AB＝1，BC＝，则PB与底面ABC所成角为(　　)A．60°B．30°C．45°D．90°[答案]　B[解析]　由AB＝1，BC＝，知AC＝，∴OA＝，又∵PA

2、＝1，PQ⊥AC，∴PO＝，∵OB＝OA＝，∴tanθ＝.∴应选B.3．正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的正弦值是(　　)A.B.C.D.[答案]　C[解析]　由计算得sinθ＝.故选C.4．在三棱锥P—ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为(　　)A.B.C.D.[答案]　D[解析]　以O为原点，射线OA、OB、OP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图，设AB＝a，则OP＝，＝(－a,0，a)，可求得平面PB

3、C的法向量为n＝(－1，－1，)，∴cos(，n)＝＝，设与面PBC的角为θ，则sinθ＝，故选D.5．若直线l与平面α所成角为，直线a在平面α内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角的取值范围是(　　)A.B.C.D.[答案]　D6．如果平面的一条斜线段长是它在这个平面上的射影长的3倍，那么斜线段与平面所成角的余弦值为(　　)A.B.C.D.[答案]　A7．如图，正方体AC1中，BC1与对角面BB1D1D所成的角是(　　)A．∠C1BB1B．∠C1BDC．∠C1BD1D．∠C1BO[答案]　D[解析]　由三垂线定理得，OB为BC1

4、在平面BB1D1D上的射影．故选D.8．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线A1B与平面BDE所成的角为(　　)A.　　B.C.　　D.π[答案]　B[解析]　以D为原点建立空间直角坐标系，平面BDE的法向量n＝(1，－1,2)，而＝(0，－1,1)，∴cosθ＝＝，∴θ＝30°.∴直线A1B与平面BDE成60°角．9．正方形纸片ABCD，沿对角线AC折起，使点D在面ABCD外，这时DB与平面ABC所成角一定不等于(　　)A．30°B．45°C．60°D．90°[答案]　D[解析]　当沿对角线AC折

5、起时，BD在面ABC上的射影始终在原对角线上，若BD⊥面ABC，则此时B、D重合为一点，这是不成立的，故选D.10．已知等腰直角△ABC的一条直角边BC平行于平面α，点A∈α，斜边AB＝2，AB与平面α所成的角为30°，则AC与平面α所成的角为(　　)A．30°B．45°C．60°D．90°[答案]　B[解析]　过B、C作BB′⊥α于B′，CC′⊥α于C′，则BB′＝CC′＝1，∴sinθ＝，∴θ＝45°.故选B.二、填空题11．正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都相等，则AC1与平面BB1C1C的夹角的余弦值为________．

6、[答案]　[解析]　设三棱柱的棱长为1，以B为原点，建立坐标系如图，则C1(0,1,1)，A，＝，又平面BB1C1C的一个法向量n＝(1,0,0)，设AC1与平面BB1C1C的夹角为θ.sinθ＝

7、cos〈n，〉

8、＝＝，∴cosθ＝＝.12．正四棱锥S—ABCD中，O为顶点S在底面内的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是________．[答案]　30°13．AB∥α，AA′⊥α，A′是垂足，BB′是α的一条斜线段，B′为斜足，若AA′＝9，BB′＝6，则直线BB′与平面α所成角的大小为______

9、__．[答案]　60°14．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AA1、A1D1的中点，则EF与面A1C1所成的角为________．[答案]　45°三、解答题15．如图所示，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，求SC与平面ABCD所成的角．[解析]　解法1：如图所示，设n是平面α的法向量，AB是平面α的一条斜线，A∈α，则AB与平面α所成的角为－arccos；是平面ABCD的法向量，设与的夹角为φ.∵＝＋＋，∴·＝·(＋＋)＝·＝1.

10、

11、＝1，

12、

13、＝＝＝，∴cosφ＝＝

14、.∴φ＝arccos.从而CS与平面ABCD所成的角为－arccos.解法2：连结AC，显然∠SCA即为SC与平面ABCD所成的角．计算得：AC＝，∴tan∠SCA＝，故SC与平面ABCD所成角为arctan.16．如图