高一第2章2.2.1知能优化训练

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1、1．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和

2、PA

3、＋

4、PB

5、＝2a(a>0，常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的________条件．解析：利用椭圆定义．若P点轨迹是椭圆，则

6、PA

7、＋

8、PB

9、＝2a(a>0，常数)，∴甲是乙的必要条件．反过来，若

10、PA

11、＋

12、PB

13、＝2a(a>0，常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的．这是因为：仅当2a>

14、AB

15、时，P点轨迹才是椭圆；而当2a＝

16、AB

17、时，P点轨迹是线段AB；当2a<

18、AB

19、时，P点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要而不充分条件．答案：必要而不充分2．椭圆＋

20、＝1(m－n>0，∴a2＝－m，b2＝－n，焦点在x轴上，∴c2＝a2－b2＝n－m，∴c＝，即焦点为(±，0)．答案：(±，0)3．若椭圆＋＝1上任意一点P到一个焦点的距离为5，则点P到另一个焦点的距离为________．解析：由椭圆定义

21、PF1

22、＋

23、PF2

24、＝2a＝10，∴

25、PF2

26、＝10－

27、PF1

28、.答案：54．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且

29、F1F2

30、＝2，若

31、PF1

32、与

33、PF2

34、的等差中项为

35、F1F2

36、，则椭圆C的标准方程为_____

37、___．解析：由已知2c＝

38、F1F2

39、＝2，∴c＝，又2a＝

40、PF1

41、＋

42、PF2

43、＝2

44、F1F2

45、＝4，∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝9，故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.答案：＋＝1或＋＝1一、填空题1．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是________．解析：如图所示，设椭圆的另一个焦点为M，由椭圆方程＋y2＝1，得a＝.由椭圆的定义知BA＋BM＝2a，CA＋CM＝2a，∴△ABC的周长为AB＋BM＋CA＋CM＝4a＝4.答案：42．已知椭圆

46、的方程为＋＝1，焦点在x轴上，则m的取值范围是________．解析：由m2<16且m≠0得－4

47、PQ

48、＝

49、PF2

50、，那么动点Q的轨迹是________．解析：依题意：

51、PF1

52、＋

53、PF2

54、＝2a(a>0是常数)．又∵

55、PQ

56、＝

57、PF2

58、，∴

59、PF1

60、＋

61、PQ

62、＝2a，即

63、QF1

64、＝2a.∴动点Q的轨迹是以F1为圆心，2a为半径的圆．答案：圆4．椭圆＋＝1的焦距为6，则k的值为________．解析：由已知2c

65、＝6，∴c＝3，而c2＝9，∴20－k＝9或k－20＝9，∴k＝11或k＝29.答案：11或295．椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则

66、PF1

67、是

68、PF2

69、的________倍．解析：由已知：a＝2，b＝，∴c＝3，F2(3,0)，设PF1的中点为Q，则OQ∥PF2.∴PF2⊥Ox，故可设P(3，y0)，∴＋＝1，∴y＝，∴y0＝±.∴

70、PF2

71、＝，又

72、PF1

73、＋

74、PF2

75、＝4，∴

76、PF1

77、＝，∴

78、PF1

79、＝7

80、PF2

81、.答案：76．设P为椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2为其上、下焦

82、点，则

83、PF1

84、·

85、PF2

86、的最大值是________．解析：由已知a＝3，

87、PF1

88、＋

89、PF2

90、＝2a＝6∴

91、PF1

92、·

93、PF2

94、≤()2＝9.当且仅当

95、PF1

96、＝

97、PF2

98、＝3时，式中取等号．故

99、PF1

100、·

101、PF2

102、的最大值为9.答案：97．椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则

103、PF2

104、等于________．解析：由＋y2＝1知：F1，F2的坐标分别为(－，0)和(，0)，即P点的横坐标为xp＝－，其纵坐标为yp＝±，所以

105、PF1

106、＝，因为

107、PF1

108、＋

109、PF2

110、＝4

111、，所以

112、PF2

113、＝4－

114、PF1

115、＝.答案：8．已知△ABC的两个顶点为B(－4,0)，C(4,0)，若顶点A在椭圆＋＝1上，则＝________.解析：由椭圆方程知，a＝5，b＝3，∴c＝＝4，∴B，C恰好为椭圆的两焦点．∴

116、AB

117、＋

118、AC

119、＝2a＝10.又

120、BC

121、＝8，由正弦定理得＝＝＝.答案：二、解答题9．已知周长为40的△ABC的顶点B、C在椭圆＋＝1(a>b>0)上，顶点A(6,0)是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边BC上，求椭圆的方程．解：由椭圆的定义，知4a＝

122、AB

123、＋

124、BC

125、＋

126、CA

127、＝40，所以a＝10.

128、而c＝6，所以b2＝a2－c2＝102－62＝64.所以椭圆的方程为＋＝1.10．已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过B点且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．解：设

129、PB

130、＝r.∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，∴两圆的圆心距

131、