第2章2.1.5知能优化训练

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1、1．下列命题正确的是(　　)A．a与b共线，b与c共线，则a与c也共线B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D．有相同起点的两个非零向量不平行解析：选C.由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，不是平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D不正确；假若a与b至少有一个是零向量，而零向量与任一向量都共线，可得a与b共线，这与a与b不共线矛盾，所以有a与b

2、都是非零向量，所以应选C.2．已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若a∥b，则(　　)A．λ＝0　　　　　　　　　B．e2＝0C．e1∥e2D．e1∥e2或λ＝0解析：选D.∵a∥b，∴存在实数k，使a＝kb，即(2k－1)e1＝λe2，∵e1≠0，∴若2k－1＝0，则λ＝0或e2＝0，若2k－1≠0，则e1＝e2，此时e1∥e2，而0与任何向量平行，∴λ＝0或e1∥e2.3．已知数轴上两点A、B的坐标分别是－4、－1，则AB与

3、

4、分别是(　　)A．－3,3B．3,3C．3，－3D．－6,6解析：选B.AB＝－1－(－4)＝3，

5、

6、＝3.4．若e

7、是a的单位向量，b与e方向相反，且

8、b

9、＝3，又

10、a

11、＝4，则a＝________b.解析：由题意知b＝－3e，又a＝4e，∴a＝－b.答案：－一、选择题1．下列叙述：①若向量a∥b，则必存在唯一实数λ使b＝λa；②若向量a，b不共线且ma＋nb＝0，则m＝n＝0；③若ma＝na(m，n∈R，a≠0)，则m＝n.其中正确叙述的个数是(　　)A．1B．2C．3D．0解析：选B.①中必须有a≠0，否则λ不确定，所以①错误，②③正确．2．已知e1，e2不共线，a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，c＝6e1－2e2，则a＋b与c的关系是(　　)A．不共线B．共线C．相等

12、D．无法确定解析：选B.∵a＋b＝e1－2e2＋2e1＋e2＝3e1－e2，c＝6e1－2e2＝2(3e1－e2)＝2(a＋b)，∴a＋b与c共线．3．(2011年临沂高一检测)已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则(　　)A．A、B、D三点共线B．A、B、C三点共线C．A、C、D三点共线D．B、C、D三点共线解析：选A.＝＋＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b，又＝a＋5b，∴＝，又、有公共点B，∴A、B、D三点共线．4．已知向量e1、e2不共线，a＝ke1＋e2，b＝e1＋ke2，若a与b共线，则k等于(　　)A．±1B．1C．－1D．0解析：

13、选A.∵a∥b，∴存在唯一的实数λ，使a＝λb，∴ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，∴(k－λ)e1＋(1－λk)e2＝0，∵e1，e2不共线，∴，∴k＝±1.5．(2011年西安高一检测)已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：＋＋＝0，若实数λ满足：＋＝λ，则λ的值为(　　)A.B.C．2D．3解析：选D.∵＋＋＝0，∴P为△ABC的重心，设BC中点为D，∴＝，∴＝，而＋＝2＝2×＝3，∴λ＝3.6．已知向量a、b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么(　　)A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同

14、向D．k＝－1且c与d反向解析：选D.∵c∥d，∴c＝λd，∴ka＋b＝λ(a－b)，∴，∴k＝λ＝－1，所以k＝－1且c与d反向．二、填空题7．已知数轴上A、B两点的坐标分别为x1、x2，且x1＝3，

15、BA

16、＝5，则x2＝________.解析：

17、BA

18、＝

19、x2－x1

20、＝

21、x2－3

22、＝5.∴x2＝8或－2.答案：8或－28．关于向量a，b有①a＝2e，b＝－2e；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.(其中e1，e2不共线)其中a，b共线的有________(填上所有正确的序号)．解析

23、：①中a＝－b，∴a∥b；②中b＝－2a，∴a∥b；③中a＝4＝4b，∴a∥b；④中不存在实数λ，使a＝λb，∴a与b不共线．答案：①②③9．已知＝，＝λ，则λ的值为________．解析：∵＝，∴C为AB的一个5等分点(如图)，∴＝，∴＝－，即λ＝－.答案：－三、解答题10．设两个非零向量e1，e2不共线，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.问：是否存在实数k，使得A、B、D三点共线，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由？解：假设存在k∈R，使得A、B、D三点共线，∵＝－＝(e1＋3e2)－(2e1－e2)＝－e1＋4e2，＝2e1＋ke2

24、.又∵A、B、D三点共线