勾股定理考点复习

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1、第十八章    勾股定理 （3月27日）基本内容：1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足。，那么这个三角形是直角三角形。 3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）考点分析：考点一：利用求未知边。如①在一直角三角形中有两边长分别是3、4，则其第三边长为5或（注意分类讨论）；②印度数学家拜斯迦罗（公元1114～1185年）的著作中，有个有趣的“荷花问题”，是以诗歌的形式出现的：湖

2、静浪平六月天，荷花半尺出水面；忽来一阵狂风急，吹倒花儿水中偃.x2X+0.5x湖面之上不复见，入秋渔翁始发现；残花离根二尺遥，试问水深尺若干？问题：这是一道数学诗，你能读懂诗意，求出水深是多少尺吗？分析：设水深为x尺，则荷花高为（+0.5）尺，如图形成直角三角形由勾股定理可列方程：，解之：x=3.75③一棵大树离地面9米高处折断，树顶落在离树根底部12米远处，求大树折断前的高度？答24米④已知一个直角三角形的两条直角边分别为6与8，那么这个直角三角形斜边上的高为考点二：直角三角形的判定问题1、已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a

3、+24b+26c。试判断△ABC的形状。分析：⑴移项，配成三个完全平方；⑵三个非负数的和为0，则都为0；⑶已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形。2、已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a=n2－1，b=2n，c=n2＋1（n＞1）求证：∠C=90°。分析：⑴运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断那条边最大。②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。⑵要证∠C=90°，只要证△ABC是直角三角形，并且c边最大。根据勾股定理

4、的逆定理只要证明a2+b2=c2即可。⑶由于a2+b2=（n2－1）2＋（2n）2=n4＋2n2＋1，c2=（n2＋1）2=n4＋2n2＋1，从而a2+b2=c2，故命题获证。3、已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD。求证：△ABC是直角三角形。分析：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD·BD+BD2=（AD+BD）2=AB2练习：1、若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（）A．等腰三角形；B．直角三角形；C．等腰三角形或直角三角形；D．等腰直角

5、三角形。2、已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=，试判定△ABC的形状。3．若△ABC的三边a、b、c，满足a：b：c=1：1：，试判断△ABC的形状。考点三：互逆命题与互逆定理问题1、说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？⑴同旁内角互补，两条直线平行。⑵如果两个实数相等，那么两个实数的平方相等。⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。分析：⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用。⑵理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，

6、也可能一真一假，还可能都假。考点四：面积问题1、已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。求：四边形ABCD的面积。分析：⑴作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）；⑵DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；⑶在△DEC中，3、4、5勾股数，△DEC为直角三角形，DE⊥BC；⑷利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积。2、若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求△ABC的面积。ACDBE第1题图考点五：折叠问题1、如图，有一个直角三角形，两条直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边

7、AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？2．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C/处，BC/交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（）．A．3B．4C．5D．6考点六：无理数在数轴上表示问题如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（B）A．+1B．-1C．-+1D．考点七：应用（航海、侧面展开图、最值，是否受污染问题）例．为筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色