2014届高考数学(理)第一轮复习学案——正弦定理和余弦定理的应用

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1、第八节正弦定理和余弦定理的应用[知识能否忆起]1．实际问题中的有关概念(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)．(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2)．(3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图3)①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．③南偏西等其他方向角类似．　　　(4)坡度：①定义：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4，角θ为坡角)．②坡比：坡

2、面的铅直高度与水平长度之比(如图4，i为坡比)．2．解三角形应用题的一般步骤(1)审题，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系；(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型；(3)选择正弦定理或余弦定理求解；(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算要求．[小题能否全取]1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是(　　)A．α>β　　　　　　　　　B．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°答案：B2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C

3、的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的(　　)A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°解析：选B　如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴点A在点B的北偏西15°.3.(教材习题改编)如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A、B两点的距离为(　　)A．50mB．50mC．25mD.m解析：选A　由正弦定理得AB＝＝＝50(m)．4．

4、(2011·上海高考)在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为________千米．解析：如图所示，由题意知∠C＝45°，由正弦定理得＝，∴AC＝·＝.答案：5．(2012·泰州模拟)一船向正北航行，看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上．继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60°，另一灯塔在船的南偏东75°，则这艘船每小时航行________海里．解析：如图，由题意知在△ABC中，∠ACB＝75°－60°＝15°，B＝15°，∴AC＝AB＝8.

5、在Rt△AOC中，OC＝AC·sin30°＝4.∴这艘船每小时航行＝8海里．答案：8　解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．测量距离问题典题导入[例1]　郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三

6、角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D.(1)求AB的长度；(2)若不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由)．[自主解答]　(1)在△ABC中，由余弦定理得cosC＝＝，①在△ABD中，由余弦定理得cosD＝＝，②由∠C＝∠D得cosC＝cosD.解得AB＝7，所以AB的长度为7米．(2)小李的设计使建造费用最低．理由如下：易知S△ABD＝AD·BDsinD，S△ABC＝AC·BCsinC，因为AD·BD>AC·BC

7、，且∠C＝∠D，所以S△ABD>S△ABC.故选择△ABC的形状建造环境标志费用较低．若环境标志的底座每平方米造价为5000元，试求最低造价为多少？解：因为AD＝BD＝AB＝7，所以△ABD是等边三角形，∠D＝60°，∠C＝60°.故S△ABC＝AC·BCsinC＝10，所以所求的最低造价为5000×10＝50000≈86600元．由题悟法求距离问题要注意：(1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用

8、，就选择更便于计算的定理．以题试法1.如图所示，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A、B，观察对岸的点C，测得∠CAB＝105°，∠CBA＝45°，且AB＝100m.(1)求sin∠CAB的值；(2)求该河段的宽度．解：(1)sin∠CAB＝sin105°＝sin(60