高三数学第一轮复习 正弦定理与余弦定理（1）学案 理

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1、正弦定理与余弦定理（1）一、知识梳理：【必修五第2页——第10页】1、直角三角形各元素之间的关系:如图1,在RtABC中，C=，BC=a，AC=b，Ab=c。（1）、三边之间的关系：+=；（勾股定理）（2）、锐角之间的关系：A+B=（3）、边角之间的关系：（锐角三角函数的定义）：sinA=cosB=sinB=cosA=,tanA2、斜三角形各元素之间的关系：如图2，ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。（1）、三角形内角之间的关系：A+B+C=；sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-ta

2、nCsin；cos；（2）、三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（3）、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等；即=2R(2R为外接圆的直径)正弦定理变形：a=2R；；；；；a：b：c=（4）、余弦定理：=-2bccosA;=-2accosB;-2abcosC;余弦定理变形：cosA=;cosB=;cosC=3、三角形的面积公式：（1）、=a=b=c（，，分别表示a，b，c三边上的高）（2）、=absinC=bcsinA=casinB（3）、=2=（4）、=；（5）、=rs（r为内切圆半径，）4、解三角形：由三角形的

3、六个元素（即三个内角和三条边）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其它未知元素的问题叫做解三角形，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线、内切圆半径、外接圆半径、面积等等，解三角形问题一般可以分为下面两个情形：若给出是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形为斜三角形，则称为解斜三角形。5、实际问题中的应用：（1）、仰角和俯角：与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标线在水平线上方的角叫做仰角，目标线在水平线下方的角叫俯角。（2）、方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的角。（3）、坡度角：坡面与水平面所成的二面角的度

4、数。（4）、距离、角度的测量测量距离问题；测量高度问题；测量角度问题。二、题型探究【探究一】：利用正余弦定理解三角形例1：【2015年课标2】（17）.（本小题满分12分）∆ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD是∆ADC面积的2倍。(Ⅰ)求；(Ⅱ)若AD=1,DC=，求BD和AC的长.【试题解析】今年的高考题型有变化，17题原考核为三角函数或数列，2015年有调整，考查解三角形问题，本题重点考查了三角的解法及二个重要定理，具体考查了内分平分线的性质，三角形的面积公式，正弦定理和余弦定理及解题能力运算能力。(Ⅰ)解：,,因为AD平分∠BAC

5、，所以又2，所以,在三角形ABC中，由正弦定理可得.(Ⅱ)由内角平分线定理可得,因为,所以；在∆ABD、∆ADC中，则余弦定理得,又由，所以。例2:【2014安徽】设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)求的值.（Ⅰ）因为，所以．由正、余弦定理得．因为，，所以，．（Ⅱ）由余弦定理得．由于，所以．故例3:【辽宁高考】在中，已知a、b、c分别表示A、B、C的对边，已知a，b，c成等比数列，且-=ac-bc，求A及(,)【探究二】:求三角形的面积例4：已知a、b、c分别表示A、B、C的对边，A，B

6、，C成等差数列，cosA=，b=（1）、求sinC的值（2）、求的面积。例5：已知三个内角A、B、C成等差数列，其外接圆的半径为1，且有sinA-sinC+cos(A-C)=（1）、求A，B，C大小；（2）、求的面积。因为三个内角A、B、C成等差数列，所以B=sinA-sinC=2cos,所以=,所以A-C=又A+C=12，所以A=，B=C=，（2）、求的面积。=2=例6：【课本题】已知三个内角A，B，C成等差数列，三边a、b、c成等比数列，证明为正三角形。【提示：本题可以有多种变形】【探究三】：判断三角形的形状例7：在中，已知asinA=bsinB，试

7、判断三角形的形状；例8：在中，已知acosA=bcosB，试判断三角形的形状；例9：在中，已知acosB=bcosA，试判断三角形的形状；