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时间:2018-01-18
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1、黑龙江中公教育:http://hlj.offcn.com/2014省考同余特性浅谈1.同余概念:两个整数a和b,除以一个大于1的自然数m所得余数相同,就称a和b对于m同余,b叫做a对于m的同余数。例21÷4余1,17÷4余1,所以17和21对于4同余。注:1、被除数、正余数和负余数对于除数互为同余。2、所有余数属于除数的同一剩余类。如,余-5,-2,1,4,7都属于÷3余1这个剩余类。2.同余特性①余数的和决定和的余数;(和的余数=余数和的同余余数)例:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等 于4,即两个余数的和3+1;23,24除以5的余数分别是3和4
2、,所以23+24除以5的余数等于余数和7,正余数是2.②余数的差决定差的余数;例:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23-16=7除以5的余数等 于2,即两个余数的差3-1;16-23除以5的负余数为-2,正余数为3.③余数的积决定积的余数;例:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23×16除以5的余数等于3×1=3。④余数的幂决定幂的余数。例:今天是星期一,求再过天是周几?分析:一个2012除以7余3,根据余数的积决定积得余数,所以÷7余数为,=除以7余数是;=,相应余数是。所以结果为周三。注:余数特性中的表述要注意为“决定”而不是“等于”,比如5+5=10,等式的两边同时
3、除以3,等式左边的余数和为2+2=4,而等式右边的余数为1。三、余数性质的应用1、利用同余性质计算周期问题——已知某天是星期几,求过若干天(幂次方)是星期几?例1:老王、老李、老周三人周一同去图书馆,已知老王每15天去一次图书馆,老李每16天去一次图书馆,老周每17天去一次图书馆,那么这三人下次相遇时是周几?解析:由题意会发现我们要寻找下次三人还能同时去图书馆的时间,需要我们去寻找15、16、17三者的最小公倍数,因为三者互质,即15×16×17,然后除以7找余数,但是这样计算会比较麻烦,所以根据余数的积决定积的余数,可以分别寻找15除以7余1,16除以7余2,17除以7余3,所以15
4、×16黑龙江中公教育官方微博:http://e.weibo.com/hljoffcn黑龙江中公教育:http://hlj.offcn.com/×17的余数为1×2×3=6,所以下次三者相遇的时间为周一往后数六天,即周日。例2:今天周一,如果再过、、天结果怎样?:根据余数的幂决定幂的余数,因为2010除以7余1,所以除以7的余数决定于幂的余数,即=1:根据余数的幂决定幂的余数,因为2011除以7余2,所以除以7的余数决定于幂的余数,即=,因为8除以7余数为1,所以除以7的余数决定于幂的余数,即=1。:根据余数的幂决定幂的余数,因为2012除以7余3,所以除以7的余数决定于幂的余数,即,因
5、为3的平方为9,9除以7余数为2,2的三次方为8,8除以7余1,换句话说就是3的六次方除以7余1,所以我们只需要去寻找2011除以6的余数就可以了,2011除以6余1,所以除以7的余数决定于除以7的余数,即3。2、利用同余性质解不定方程例:解不定方程例1:解不定方程x+3y=100,x,y皆为整数A41B42C43D44解析:C,因为3y能够被3整除,100除以3余1,根据余数的和决定和的余数,x除以3必定是余1的,所以答案为C。例2:解不定方程101x+102y=3537,x,y皆为整数解析:因为101x能够被101整除,3537除以101余2,根据余数的和决定和的余数,102y除以
6、101必定是余2的,根据余数的积决定积的余数,102除以101余1,所以y除以101必定是2的,所以y可取2、103、204。。。代入可得,y=2.3、剩余问题例:一堆苹果三个三个分,还剩一个,四个四个分,还剩一个,这堆苹果至少多少个?分析:苹果数=12k+1例:某个数除以3余2,除以7余2,除以11余3,求这个数的最小值。黑龙江中公教育官方微博:http://e.weibo.com/hljoffcn黑龙江中公教育:http://hlj.offcn.com/解析:根据余同加余,同时满足除以3余2和除以7余2条件的数可表示为21n+2,这个数还应满足除以11余3,所以根据同余特性有21n
7、除以11余1,即-10,而21除以11余-1,那么n除以11余10,n为10,则所求这个数的最小值为21×10+2=212。黑龙江中公教育官方微博:http://e.weibo.com/hljoffcn
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