利用向量求轨迹问题

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1、利用向量求轨迹问题知识点：平面向量的直角坐标运算，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则：(1)a∥b⟺x1y2–x2y1＝0(2)当a≠0时，a⊥b⟺x1x2＋y1y2＝0在新编高中数学教材中将平面向量纳入教学内容后，我们不仅仅是对向量知识的学习，更重要的是将向量作为一种工具应用于其它数学知识中，特别是利用它来求轨迹问题时常带来极大的方便，结合上述知识点，下面举几例来介绍向量在求解轨迹问题时的应用.例1、过定点P(3，2)作直线l交x轴、y轴分别于A、B两点，求线段AB中点的轨迹方程.ABCOyx图一分析：设线段AB的中点c(x、y)，由中点坐标公式有A(2x，o)

2、，B(o，2y)，贝PA＝(2x–3，–2)，PB＝(–3，2y–2)，由A、P、B三点共线，即有PA∥PB，利用知识点(1)有：(2x–3)·(2y–2)–(–3)·(–2)＝0化简后得：2x＋3y–2xy＝0，这就是所求的线段AB中点的轨迹方程.例2(如图一)过原点o作互相垂直的两条直线，分别交y＝x2于A、B两点，求线段AB中点的轨迹方程.MBOyx图二A解：设线段AB中点c(x，y)，再设A(x1、x12)，B(x2、x22)，则OA＝(x1，x12)，OB＝(x2、x22)，由题意有OA⊥OB，即OA⊥OB，利用知识点(2)有：x1x2＋x12x12＝o①又由点C是线段AB的

3、中点有：x1＋X2＝2x②x12＋x12＝2y③由①②③化简后得y＝2x2＋1所以AB中点的轨迹方程是y＝2x2＋l.例3(如图二)设点A和B为抛物线y2＝4px(p>0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.分析：由题设条件知，此题是上述知识点的综合运用，利用2向量垂直和共线的充要条件来列方程较为理想.解：设M(x，y)、A(y124p，y1)，B(y224p，y2)，(y1≠y2≠0)，则OM＝(x，y)，OA＝(y124p，y1)，OB＝(y224p，y2)，AB＝(y22-y124p，y2-y1)，由OA⊥OB有OA⊥OB，故

4、有y12y2216p2＋y1y2＝0，化简得，y1y2＝–16p2①同理：OM⊥AB有x·y22-y124p＋y·(y2–y1)＝0，化简得：y1＋y2＝–(x≠0)②又点M在AB上，则A、M、B三点共线即AM∥MB且AM＝(x–y124p，y–y1)，MB＝(x–y224p，y2–y)∴(x–y124p)·(y2–y)–(y224p–x)(y–y1)＝0，化简后得：4px＝y(y2＋y1)–y1y2③再由①②代入③得：4px＝y·(–)＋16p2∴x2＋y2–4px＝0.故所求点M的轨迹方程为x2＋y2–4px＝0(x≠0)它表示是以(2p，0)为圆心，以2p为半径的圆(去掉坐标原点

5、).注：上述三题若用常规方法去求，既要设参数，又要消参数，解题过程变得麻烦，而利用向量来解，思路简洁自然，直观易掌握，不妨试一试后作比较.当然，利用向量解法求轨迹问题只是在数学应用中的一个缩影，在涉及到代数、平面几何及立体几何方面的应用，只要能在原问题情境中捕捉信息，引入向量，利用向量的运算，运算律及法则来解决相应的数学问题，将会给大家展示无限遐想的思维空间.2谈数学形象思维的培养贵州省开阳一中周华培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，以逐步形成运用数学知识来分析和解决问题的能力…….这里的“逻辑思维”属于抽象思维的范畴，正是这种“抽象”才体现了数学不同于其它学科的特征.在我

6、们教材中，特别是《不等式》这一章，却更能反映和表述出直觉的形象思维问题.形象思维主要是用典型化的方式进行概括，用形象材料来思维，并以形象为其思维的细胞，达到对事物本质的理性认识.可见，它是一种形象性的认识活动，也是创造性思维的一种.因此，能够认识、体会形象性思维，对于我们学习数学可带来极大的方便.下面，本文谈谈如何运用形象思维方法解决在《不等式》这一章中的问题.一、两个重要不等式：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，≥(a，b∈R＋).例1，若x、y∈R，且x＋y＝5，则3x＋3y的最小值是()A、10B、6C、4D、18分析：由于x、y∈R，则3x，3y都是正实数，联想到上面的均值不等

7、式：a＋b≥2(a，b∈R＋)，就可得到答案D.例2、求证：≤分析：此题要证不等式成立，联想到证明不等式常用的三种方法：比较法、综合法及分析法，对于此题三种方法都可证，但途中均用到上述不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，而这个式子恒成立，故原式可证.二、不等式：x2＋y2≥(x，y＞0)例3，设0＜a＜1，0＜b＜1，求证：＋＋＋≥2.分析：观察不等式左边的形象：每一项根号内部是由两正数的平方和组成，3联想到基本不等式的形象：x2＋y2≥(