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1、个人收集整理勿做商业用途考点6利用向量求曲线方程和解决相关问题例10．（2006年山东卷）双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线y=为C的一条渐近线。（1）求双曲线C的方程；(2）过点P（0，4)的直线，交双曲线C于A，B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）.当，且时，求Q点的坐标.考查意图：本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力，以及运用数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力.解答过程:（Ⅰ)设双曲线方程为,由椭圆,求得两焦点为,对于双曲线,又为双曲线的一条渐近线解得，双曲线的方程为(Ⅱ）解法一:由题意知直线的斜率存在且不等于
2、零.设的方程：，,则。，.在双曲线上，.同理有：若则直线过顶点，不合题意。是二次方程的两根。，,此时.所求的坐标为.解法二：由题意知直线的斜率存在且不等于零个人收集整理勿做商业用途设的方程，,则.，分的比为。由定比分点坐标公式得下同解法一解法三:由题意知直线的斜率存在且不等于零设的方程：，则.，.，，，又，，即。将代入得。，否则与渐近线平行。.。。解法四:由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设的方程:,,则,。.同理。。即.(*）又消去y得。当时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意,。个人收集整理勿做商业用途由韦达定理有:代入（＊）式得.所求Q点的坐
3、标为.例11．（2007年江西卷理）设动点P到点A(－l，0）和B(1，0）的距离分别为d1和d2，∠APB＝2θ,且存在常数λ（0＜λ＜1＝，使得d1d2sin2θ＝λ．（1)证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；（2）过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两点，试确定λ的范围,使·＝0，其中点O为坐标原点．［考查目的］本小题主要考查直线、双曲线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．［解答过程]解法1：(1)在中,，即，,即(常数），点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线．方程为：．（2)设，①当垂直于轴时，
4、的方程为，，在双曲线上．即，因为，所以．②当不垂直于轴时，设的方程为．由得：,由题意知：，所以，．于是：．因为，且在双曲线右支上，所以．由①②知，．解法2：（1）同解法1个人收集整理勿做商业用途（2)设，，的中点为．①当时，，因为,所以；②当时,．又．所以；由得，由第二定义得．所以．于是由得因为，所以，又,解得：．由①②知．利用向量的数量积构造出等式或函数关系，再利用函数求最值的方法求最值，要比只利用解析几何知识建立等量关系容易。例12．设椭圆E的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,离心率为，过点的直线交椭圆E于A、B两点,且，求当的面积达到最大值时直线和椭圆
5、E的方程.解答过程:因为椭圆的离心率为，故可设椭圆方程为，直线方程为，由得：，设，则…………①又，故，即…………②由①②得：,,则＝，个人收集整理勿做商业用途当，即时，面积取最大值，此时,即，所以，直线方程为，椭圆方程为。小结:利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易。例13．已知，，且,求的最大值和最小值.解答过程：设，,，因为，且，所以，动点P的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为6的椭圆，椭圆方程为，令，则＝，当时，取最大值，当时，取最小值.小结：利用椭圆的参数方程，可以将复杂的代数运算化为简单的三角运算.考点8利用向量处理圆锥曲
6、线中的取值范围问题解析几何中求变量的范围，一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域问题。例14．（2006年福建卷)已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点.（I）求过点O、F,并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.考查意图：本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.解答过程：（I）圆过点O、F，圆心M在直线上.设则圆半径由得解得个人收集整理勿做商业用途所求圆的方程为（II）设
7、直线AB的方程为代入整理得直线AB过椭圆的左焦点F,方程有两个不等实根.记中点则的垂直平分线NG的方程为令得点G横坐标的取值范围为例15．已知双曲线C：，B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴正半轴上，且满足成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线，垂足为P，（1）求证：；（2）若与双曲线C的左、右两支分别相交于点D,E,求双曲线C的离心率e的取值范围.解答过程：(1）因成等比数列，故,即,直线：，由,故：，则：，即；（或，即）个人收集整理勿做商业用途（2）由， 由得：（或由）小结：向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重，而要运用数量积,必须
8、先恰当地求出各个点的坐标.例16．已知，,，（1)求点的轨迹C的方
