随机变量的函数及多维随机变量

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1、1.6随机变量的函数一、随机变量的函数定义：设有一实函数以及随机变量，定义一个新的随机变量，称随机变量是随机变量的函数。问题：已知的统计特性，求的统计特性。若g(x)为单调连续函数：单调函数示意图)(xgy=yxxy01.6随机变量的函数二、一维随机变量函数的分布雅可比(Jacobi)例１、设随机变量X与随机变量Y的关系为a,bisconstant，已知X的概率密度为fX(x)，求Y的概率密度。1.6随机变量的函数如果正态随机变量的线性变换仍为正态随机变量。若g(x)为非单调函数：)(xgdyy+y22dxx+2x11dxx+1xx01.6随机变量的函数其中…例2、设平方律检波器的输入输出关系

2、为求Y的概率密度。1.6随机变量的函数只考虑为单调情形：雅可比变换为：1.6随机变量的函数三、多维随机变量函数的分布例3设X、Y为相互独立的随机变量，有求Z1和Z2的联合概率密度。1.6随机变量的函数两个独立随机变量之和的概率密度为其各自的概率密度的卷积。两个独立随机变量之积和商的概率密度？均值：方差：1.6随机变量的函数四、随机变量函数的数字特征一、特征函数(Characteristicfunction)若X为离散型随机变量，则有：1.7随机变量的特征函数随机变量X的特征函数定义为：性质：1.7随机变量的特征函数若（Cisconstant）则：若（a,bisconstant）则：相互独立的随

3、机变量之和的特征函数是各特征函数之乘积，即例4、设X为(0,1)分布随机变量，其概率分布为：求特征函数。例5、设X为均匀分布随机变量，其概率分布为：求特征函数。1.7随机变量的特征函数例6、若随机变量相应的特征函数分别为：(1)(2)求随机变量的分布。1.7随机变量的特征函数2、特征函数与矩的关系或1.7随机变量的特征函数定理：设随机变量X的n阶矩为一、一维正态随机变量概率密度：-4-3-2-10123400.10.20.30.40.50.60.70.8N(0,1)正态分布概率密度1.8多维正态随机变量二、二维正态随机变量定义：设两个随机变量,如果它们的联合概率密度为：其中r为相关系数。1.8

4、多维正态随机变量则称是联合正态的。性质：X1,X2的边缘概率密度也是正态的若X1,X2的不相关，则r=0，两随机变量相互独立1.8多维正态随机变量三、矩阵表示方法协方差矩阵：1.8多维正态随机变量综上，概率密度矩阵表示形式为：令：特征函数矩阵表示形式为：以上矩阵形式均可推广到多维。1.8多维正态随机变量四、正态随机变量的线性变换可见，Y仍然服从正态分布，均值为Lm，协方差阵为LKLT1.8多维正态随机变量第三讲：小结随机变量的函数若g(x)为单调连续函数：若g(x)为非单调连续函数：随机变量的特征函数第三讲：小结多维正态随机变量课后作业：1.6、1.16X1,X2的边缘概率密度也是正态的若X1

5、,X2的不相关，则r=0，两随机变量相互独立Y仍然服从正态分布，均值为Lm，协方差阵为LKLT正态随机变量的线性变换