§3.3 多维随机变量函数的分布

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1、3.3多维随机变量函数的分布一、多维离散随机变量函数的分布以二维为例讨论，设二维随机变量的取值为随机变量的取值为.令，则例3.3.2（泊松分布的可加性）设且与相互独立．证明证明：略．注证明过程用到离散场合下的卷积公式，这里卷积指“寻求两个独立随机变量和的分布运算”，对有限个独立泊松变量有例3.3.3（二项分布的可加性）设且与相互独立．证明证明略．注：（1）该性质可以推广到有限个场合（2）特别当时，这表明，服从二项分布的随机变量可以分解成个相互独立的0-1分布的随机变量之和．二、最大值与最小值的分布例3.3.4（最大值分布）设是相互独立的个随

2、机变量，若设在以下情况求的分布：（1）（2）同分布，即（3）为连续随机变量，且同分布，即的密度函数为（4）解略．注这道题的解法体现了求最大值分布的一般思路．例3.3.5（最小值分布）设是相互独立的个随机变量；若，试在以下情况下求的分布：（1）（2）同分布，即（3）为连续随机变量，且同分布，即的密度函数为（4）解略．注这道例题的解法体现了求最小值分布的一般思路．三、连续场合的卷积公式定理3.3.1设与是两个相互独立的连续随机变量，其密度函数分别为、，则其和的密度函数为证明略．本定理的结果就是连续场合下的卷积公式．例3.3.6（正态分布的可加性

3、）设且与相互独立．证明证明略注任意n个相互独立的正态变量的非零线性组合仍是正态变量．四、变量变换法1、变量变换法设的联合密度函数为，函数有连续偏导数，且存在唯一的反函数，其变换的雅可比行列式若则的联合密度函数为这个方法实际上就是二重积分的变量变换法，其证明可参阅数学分析教科书．例3.3.9设与独立同分布，都服从正态分布，记试求的联合密度函数．是否相互独立？解略．2、增补变量法增补变量法实质上是变换法的一种应用：为了求出二维连续随机变量的函数的密度函数，增补一个新的随机变量，一般令或．先用变换法求出的联合密度函数，再对关于v积分，从而得出关于

4、的边际密度函数．例3.3.10（积的公式）设与相互独立，其密度函数分别为和.则的密度函数为证略．例3.3.11（商的公式）设与相互独立，其密度函数分别为和，则的密度函数为证略．注例3.3.10和例3.3.11的结果可以直接用来解题．