2.1 极限的定义与性质

《2.1 极限的定义与性质》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

第二章三、极限的性质二、函数的极限第一节极限的定义与性质一、数列的极限四、无穷小与无穷大 一、数列的极限1、数列★无穷多个实数按一定次序排成一列称为无穷数列（简称数列），记成其中称为数列的第n项或通项。 ★数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取点:★数列是整标函数数列的几何意义. n=19n=32n=42n=50 问题:1)当n无限增大时,数列xn是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何用数学语言描述?2)“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它. 随着n的增加，1/n会越来越小。我们可用两个数之间的‘距离’来刻化两个数的接近程度 只要n无限增大，xn就会与1无限靠近。引入符号N和来刻化无限增大和无限接近。 定义2.2给定数列如果存在常数a，使得（无论它多么小），使得当时，绝对值不等式恒成立，则称数列以a为极限，记为或者若数列存在极限，则称此数列收敛，否则称此数列发散或不收敛。 例如,趋势不定收敛发散 机动目录上页下页返回结束用数学语言给出极限的定义： 几何解释:由此可知，改变数列的有限项不会影响其敛散性. 例1证所以, 注:用定义证明数列极限存在时,关键是从主要不等式出发,由>0,找到使主要不等式成立的N(并不在乎N是否最小).有时找N比较困难，可把不等式适当变形、放大。 例2(常用结论)证思考： 二、函数的极限定义2.3.设函数若存在1、自变量趋向∞时函数的极限 （2）几何解释:直线y=A为曲线的水平渐近线说明：定义为函数极限的定义。(1) 类似地可以定义下面两种情况:当时,有当时,有从上述定义容易得到：的充要条件是 一般地，若则直线为函数的图形的水平渐近线.或或例如，都有水平渐近线都有水平渐近线又如， 例5.证明证:取因此注:就有为使只需 2、自变量趋于有限值时函数的极限1).时函数极限的定义定义2.4设函数在点a的某去心邻域内有定义，或即当时,有若存在常数A, (3)几何解释:极限存在函数局部有界这表明:说明：本定义称为函数的定义，的接近程度，刻画与的接近程度.(1)(2)当的极限与在点是否有定义无关. 例6.证明证:故对任意的当时,因此总有 例7.证明证:欲使取则当时,必有因此只要 例8.证明证:故取当时,必有因此 2）.左极限与右极限左极限:当时,有右极限:当时,有左极限与右极限统称为单侧极限. 由定义可知单侧极限与极限有下述关系：说明：当两个单侧极限有一个不存在，或者虽然两个单侧极限都存在但不相等时，极限不存在. 例9.设函数讨论时的极限是否存在.解:因为显然所以不存在. 三、极限的性质性质1.(唯一性）若存在，那么极限唯一.(有界性)若那么存在常数和使得当有性质2.以下性质对所有极限过程均成立，统一以表示. 性质3.（保号性）且A>0则存在(A<0)，若 性质4.（保号性）则思考:若将条件改为是否必有不能!如 性质5.（极限存在准则（I）——两边夹准则）且常用结论：反之不对，但当 证解 圆扇形AOB的面积证:当即亦即时，显然有△AOB的面积＜＜△AOD的面积故有重要极限 定义.若则称函数四、无穷小与无穷大1、无穷小当例如:函数当时为无穷小;函数时为无穷小;函数当时为无穷小. 说明:(1)除0以外任何很小的常数都不是无穷小!因为显然C只能是0!CC(2)一个变量是否为无穷小，与极限过程有关. 定理2.2.(无穷小与函数极限的关系)证:机动目录上页下页返回结束 2、无穷大定义.若任给M>0,若在定义中将①式改为①记作记作（负无穷大） 当例如:函数当时为无穷大;函数时为负无穷大;函数当时为正无穷大. 说明:1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.一个变量是否为无穷大，与极限过程有关. 若则直线为曲线的铅直渐近线.渐近线一般地， 3、无穷小与无穷大的关系(1)若为无穷大,为无穷小;(2)若为无穷小,且则为无穷大.则据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.定理2.3.在自变量的同一变化过程中,说明: 定义2.5.4、无穷小的比较 例如,当～时～～对无穷大可以类似比较. 作业P503；5（4）；6；8