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1、第二章三、极限的性质二、函数的极限第一节极限的定义与性质一、数列的极限四、无穷小与无穷大一、数列的极限1、数列★无穷多个实数按一定次序排成一列称为无穷数列（简称数列），记成其中称为数列的第n项或通项。★数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取点:★数列是整标函数数列的几何意义.n=19n=32n=42n=50问题:1)当n无限增大时,数列xn是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何用数学语言描述?2)“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.随着n的增加，1/n会越来越小。我们可用两个数之间的‘距离’来刻化两个数的接
2、近程度只要n无限增大，xn就会与1无限靠近。引入符号N和来刻化无限增大和无限接近。定义2.2给定数列如果存在常数a，使得（无论它多么小），使得当时，绝对值不等式恒成立，则称数列以a为极限，记为或者若数列存在极限，则称此数列收敛，否则称此数列发散或不收敛。例如,趋势不定收敛发散机动目录上页下页返回结束用数学语言给出极限的定义：几何解释:由此可知，改变数列的有限项不会影响其敛散性.例1证所以,注:用定义证明数列极限存在时,关键是从主要不等式出发,由>0,找到使主要不等式成立的N(并不在乎N是否最小).有时找N比较困难，可把不等式适当
3、变形、放大。例2(常用结论)证思考：二、函数的极限定义2.3.设函数若存在1、自变量趋向∞时函数的极限（2）几何解释:直线y=A为曲线的水平渐近线说明：定义为函数极限的定义。(1)类似地可以定义下面两种情况:当时,有当时,有从上述定义容易得到：的充要条件是一般地，若则直线为函数的图形的水平渐近线.或或例如，都有水平渐近线都有水平渐近线又如，例5.证明证:取因此注:就有为使只需2、自变量趋于有限值时函数的极限1).时函数极限的定义定义2.4设函数在点a的某去心邻域内有定义，或即当时,有若存在常数A,(3)几何解释:极限存在函数局部有界这
4、表明:说明：本定义称为函数的定义，的接近程度，刻画与的接近程度.(1)(2)当的极限与在点是否有定义无关.例6.证明证:故对任意的当时,因此总有例7.证明证:欲使取则当时,必有因此只要例8.证明证:故取当时,必有因此2）.左极限与右极限左极限:当时,有右极限:当时,有左极限与右极限统称为单侧极限.由定义可知单侧极限与极限有下述关系：说明：当两个单侧极限有一个不存在，或者虽然两个单侧极限都存在但不相等时，极限不存在.例9.设函数讨论时的极限是否存在.解:因为显然所以不存在.三、极限的性质性质1.(唯一性）若存在，那么极限唯一.(有界性)
5、若那么存在常数和使得当有性质2.以下性质对所有极限过程均成立，统一以表示.性质3.（保号性）且A>0则存在(A<0)，若性质4.（保号性）则思考:若将条件改为是否必有不能!如性质5.（极限存在准则（I）——两边夹准则）且常用结论：反之不对，但当证解圆扇形AOB的面积证:当即亦即时，显然有△AOB的面积＜＜△AOD的面积故有重要极限定义.若则称函数四、无穷小与无穷大1、无穷小当例如:函数当时为无穷小;函数时为无穷小;函数当时为无穷小.说明:(1)除0以外任何很小的常数都不是无穷小!因为显然C只能是0!CC(2)一个变量是否为无穷小，
6、与极限过程有关.定理2.2.(无穷小与函数极限的关系)证:机动目录上页下页返回结束2、无穷大定义.若任给M>0,若在定义中将①式改为①记作记作（负无穷大）当例如:函数当时为无穷大;函数时为负无穷大;函数当时为正无穷大.说明:1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.一个变量是否为无穷大，与极限过程有关.若则直线为曲线的铅直渐近线.渐近线一般地，3、无穷小与无穷大的关系(1)若为无穷大,为无穷小;(2)若为无穷小,且则为无穷大.则据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.定理2.3.在自变量的同一变化过程中,说明:定义
7、2.5.4、无穷小的比较例如,当～时～～对无穷大可以类似比较.作业P503；5（4）；6；8
