ch1-3,4函数极限定义与性质

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1、复习注意：但未必是的函数;一般,取越小,相应N就越大,3.N与n无关,N不是唯一的.2.N可能与有关，9/18/2021几何解释:推论9/18/2021数列极限的性质1.有界性(全局性）定理1收敛的数列必定有界.注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.9/18/20212.唯一性定理2每个收敛的数列只有一个极限.3.子列的收敛性定理3如果数列收敛，则它的任一个子数列也收敛，且极限相同.9/18/2021第三节函数极限的定义一、自变量的变化过程二、自变量趋向无穷大时函数的极限三、自变量趋向有限值时函数的极限新课第一章9/18/2021一、自变量的变化过程

2、2.x<0,且-x无限增大,记为9/18/2021xsinx/x播放二、自变量趋向无穷大时函数的极限9/18/2021如何用数学语言刻划函数“无限接近”.通过上面演示实验的观察:问题:即如何表示x与f(x)无限接近于A？先分x+与x-来说明当时9/18/2021定义设f(x)在x>0有定义,对任意给定的无论多么小的正数,总存在正数X,当x>X时，恒有

3、f(x)A

4、<，则称常数A是函数f(x)当x+时的极限.1.x+时f(x)的极限当时9/18/2021几何意义9/18/20212.x-时f(x)的极限定义设f(x)在x<0有定义,对任意给定的正数

5、,总存在正数X,当x<-X时，恒有

6、f(x)A

7、<，则称常数A是函数f(x)当x-时的极限.记为无论多么小9/18/2021几何意义9/18/20213.x时f(x)的极限定理：几何意义注否9/18/2021几何意义<<<9/18/2021例证9/18/20214.水平渐近线(horizontalasymptote)例如：9/18/2021三、自变量趋向有限值时函数的极限虽在x=1处无定义，但从它的图形上可见，当点从1的左侧或右侧无限地接近于1时,f(x)无限地接近于4.1xyo4注意:x→x0时，f(x)有无极限与f(x)在x0处有无定义是否有关？约定x→x

8、0但x≠x0称4为f(x)当x→1时f(x)的极限.例？无关！9/18/2021三、自变量趋向有限值时函数的极限问题:δ可能与任意给定的正数ε有关,也并不是唯一的.9/18/20211.xx0时f(x)的极限定义若存在常数A,对任意给定的正数>0,总存在正数>0,只要f的定义域中的点x满足0<

9、xx0

10、<时，恒有

11、f(x)A

12、<成立，则称常数A是函数f(x)当xx0时的极限,简称A是f(x)在x0处的极限.说明:9/18/20212.几何解释:9/18/2021例1.证9/18/2021例2证(函数在点x=1处没有定义)9/18/2021例3证用定义证明的

13、过程：1.把

14、f(x)A

15、化简为

16、f(x)A

17、k

18、xx0

19、;2.要

20、f(x)A

21、,只要k

22、xx0

23、;4.验证.9/18/2021幂函数，指数函数，对数函数，三角函数及反三角函数等基本初等函数重要结论由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数,其在其定义域内的每点处的极限都存在且等于函数在该点处的值.9/18/20212.单侧极限:问题：设如何证明?9/18/2021左极限定义:右极限定义:9/18/2021定理由此有9/18/2021左右极限存在但不相等,例4证重点9/18/202

24、15例5解：由图可知9/18/2021(如作业P18二6)9/18/2021复习时当统一：9/18/2021说明9/18/2021左极限右极限9/18/2021四、函数极限的性质定理1若极限(或)存在，则极限是惟一的.1.极限的惟一性9/18/2021定理2定理22.有极限的函数的局部有界性9/18/2021定理3(局部保号性)3.极限的局部保号性定理3推论:>>0?不能!9/18/2021定理(保序性)推论由此也可证“极限的唯一性”>>?不能!当但A=B=09/18/20214.函数极限的归并性(函数极限与数列极限的关系)定义定理例如,则9/18/2021例如,函数

25、极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.(Heine定理，又称归并原则)即9/18/2021例69/18/2021例6证二者不相等,9/18/2021五、小结1.函数极限的统一定义(见下表)9/18/2021过程时刻从此时刻以后过程时刻从此时刻以后2.9/18/2021二、自变量趋向无穷大时函数的极限9/18/2021二、自变量趋向无穷大时函数的极限9/18/2021二、自变量趋向无穷大时函数的极限9/18/2021二、自变量趋向无穷大时函数的极限9/18/2021二、自变量趋向无穷大时函