函数的极限定义. 性质.ppt

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1、第二节函数的极限三、单侧极限四、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向有限值时函数的极限二、函数极限的性质五、两个重要极限7/30/20211x的变化趋势有:自变量的变化过程7/30/20212一、自变量趋向有限值时函数的极限问题:7/30/202131.xx0时f(x)的极限定义若存在常数A,对任意给定的正数>0,总存在正数>0,只要f的定义域中的点x满足0<

2、xx0

3、<时，恒有

4、f(x)A

5、<成立，则称常数A是函数f(x)当xx0时的极限,简称A是f(x)在x0处的极限.7/30/20214几何意义7/30/20215说明7/30/20216例1证7/30/2021

6、7例2证函数在点x=1处没有定义.7/30/20218例3证7/30/20219例4证7/30/202110用定义证明的过程：1.把

7、f(x)A

8、化简为

9、f(x)A

10、k

11、xx0

12、;2.要

13、f(x)A

14、,只要k

15、xx0

16、;4.验证.7/30/202111几何意义7/30/202112性质11.极限的局部保序性、保号性二、函数极限的性质7/30/202113证上两式同时成立,7/30/202114性质2(保序性)推论(不等式性质)证明:反设A>B,则由定理3,7/30/202115性质3(局部保号性)7/30/202116性质37/30/202117性质4若极限

17、(或)存在，则极限是惟一的.2.极限的惟一性7/30/202118证不妨设AB,由定义,对故极限若存在则必唯一.7/30/202119性质6性质63.有极限的函数的局部有界性7/30/2021204.函数极限的归并性(函数极限与数列极限的关系)定义性质7利用函数极限的归并性,我们可以利用数列极限的结论来推导函数极限的类似结论.7/30/202121证:必要性7/30/202122……………充分性7/30/202123于是,可得一数列{xn→x0},xn≠x0,而右边一列则说明数列{f(xn)}不以A为极限,此与假设矛盾.充分性得证.函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相

18、等.定理给出了函数极限与数列极限的关系:7/30/202124例如,7/30/202125判别极限不存在的一个方法7/30/202126例1证7/30/202127二者不相等,7/30/202128准则I称为夹逼准则.性质5.收敛准则Ⅰ5.极限收敛准则7/30/202129证利用数列极限的存在准则得:由函数极限的归并性,就证明了函数极限:7/30/202130例17/30/202131极限的运算法则1.极限运算法则定理7/30/202132证利用数列极限的四则运算法制则得:从而就证明了函数极限的四则运算法则.7/30/202133推论1即：常数因子可以提到极限记号外面.极限运算的线性性质：

19、极限运算的线性性质可推广到有限个函数的情形.7/30/202134推论2有限个函数乘积的极限等于各函数极限的乘积.推论37/30/2021352.求极限方法举例例1解7/30/202136小结:7/30/202137解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例27/30/202138解例3(消去零因子法)7/30/202139例4解7/30/202140(2)解例7/30/202141(3)解(分母或分子有理化)例7/30/202142解7/30/202143