第19章 数字基础及逻辑函数化简

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19．1逻辑代数基本运算关系（2）逻辑运算，按其因果关系进行（1）逻辑变量概念，逻辑变量不代表数值大小，只代表二个截然不同的状态2.逻辑运算二进制算术运算采用“逢二进一”规律1.算术运算19．1．1算术运算和逻辑运算 （3）正负逻辑，按电平高低来规定，高电平逻辑“1”，低电平逻辑“0”—正逻辑规定；高电平为逻辑“0”，低电平为逻辑“1”—负逻辑规定；同一个逻辑问题可以用正逻辑也可以用负逻辑表示。19.1.2逻辑代数中常量间的基本运算逻辑常量运算只有逻辑“与”、“或”、逻辑“反”三种基本运算，见真值表表示。 运算的优先顺序为：非→与→或进行19．1．3复合逻辑运算与运算或运算非运算与非，或非，与或非，异或，同或等复合运算。1．常用复合逻辑运算 其中19．2逻辑代数的基本定律 1.运算定律0-1律重叠律互补律否定之否定律交换律结合律 分配律：莫根定律（反演律）： 例19—1试证明恒等式表示一个逻辑问题的运算关系式，19．3逻辑函数及其表示方法19．3．1逻辑函数1．逻辑函数定义：证：右边 如开关控制电灯2．逻辑函数的建立将一个逻辑问题确立输入和输出逻辑变量，设定输入变量的各种取值，得出结果，列出真值表，得出函数表达式。 令开关合上为“1”，断开为“0”，灯亮为“1”，暗为“0”时真值表19．3．2逻辑函数的常用表示方法1．真值表仍用电灯控制为例ABCL00000010010001111000101111001111 2．逻辑函数式表示ABCL00000010010001111000101111001111 3．逻辑图表示用逻辑符号画出的图4．卡诺图在化简中介绍19．3．3常用表示方法之间的转换1．从真值表求函数式 ABCL00000010010001111000101111001111 2．从逻辑函数式列出真值表ABCL00000010010001111000101111001111 3．从逻辑图求逻辑函数式和真值表例19—2试写出图示电路的逻辑函数式 19．4逻辑函数的最小项和最大项及标准“与或”表达式19．4．1最小项1．最小项定义一个具有n个变量的函数，就有2n个最小项，2．最小项的编号二个变量函数L（A，B），就有四个最小项：以反变量为0，原变量为1后，用十进制编号表示： 3．最小项的性质只差一个变量不同的二个最小项，逻辑上称相邻，可合并成一项，并消去一个变量。任何二个最小项相与结果为零（即）；全部最小项之和，其值恒为1（即）； 19.4.2逻辑函数的标准与或表达式任何一个逻辑函数都可以化成各最小项之和表达式，该表达式就称逻辑函数的标准与或表达式。例19—3试将逻辑函数化成最小项之和表达式：解：因为函数有三个变量，所以式中的每个与项应该都包含三个变量。 19.4.3最大项最大项定义：n个变量函数的最大项，就是具有n个变量的一个或项，这些变量或者以原变量或者以反变量在该或项中出现。n个变量的函数同样有2n个最大项。二个变量A,B的4个最大项为： 2.最大项的编号最大项用Mi表示，i是最大项对应二进制的十进制数。最大项中的原变量用0表示，反变量用1表示得到。如最大项的二进制码为（10）B=(2)D，所以该最大项表示为M2。3.最大项和最小项的关系二者互为反函数关系，即： 如三变量的最大项和最小项间关系为：例19-4下面的与项哪些是4变量函数的最小项？解：四变量函数的最小项应包含四个变量，所以只有第三项　　　才是函数的最小项。 19.5　逻辑函数的代数化简法19.5.1　化简的意义简化的逻辑函数其电路也比较简单，因此化简的意义是使用最少的逻辑器件来实现所需的逻辑功能。同一个逻辑函数，可以有多种不同的逻辑函数表达方式：与-或式，或-与式，与非-与非式，或非-或非式，与-或-非等。简化是指对与-或表达式的化简。以达到该式中的与项最少，而每个与项中的变量数也最少为止。 19.5.2　常用的代数化简法通常利用逻辑代数的定律和常用公式进行。基本方法有：并项法、吸收法、添项法和配项法等手法综合进行。例19-5将最简与或式转化为与非-与非表达式。解：式子已最简，所以只需将式子两次求反即可实现。 例19-6试化简下面逻辑函数为最简与或表达式。解：19.6　逻辑函数的卡诺图表示法及其化简19.6.1　卡诺图卡诺图是一种方格图，n个变量就有2n个小方格，一个最小项代表一个小方格，在逻辑上相邻的最小项其对应的小方格也相邻。 以三变量卡诺图为例：三变量函数有23=8个最小项，画成三变量卡诺图也有8个小方格。每个方格代表一个最小项，其任何一个方格四周相邻。逻辑（几何位置）上相邻的两个最小项可以合并成一个，消去其中的一个变量。如m0与m2相邻，消去B变量,m2与m6相邻消去A变量等。 19.6.2逻辑函数的卡诺图表示方法：将函数化成最小项之和表达式，按函数的变量数画卡诺图，再将最小项对应小方格上填1，其它填0，得到函数的卡诺图。例19-7试用卡诺图表示逻辑函数：解：将函数化成最小项之和式 画出三变量卡诺图：将m1,m7,m3,m6号最小项填入相应的小方格中，如下图。 19.6.3　卡诺图化简法方法：将2n个相邻方格结合（画包围圈）来消去变量。n=1消去一个变量，n=2消去二个变量，以此类推。例19-8用卡诺图化简逻辑函数解：画出逻辑函数卡诺图，画包围圈合并最小项后得： 19.6.3　具有无关项的逻辑函数化简注意包围圈越大越简，可以重复，但每次必须有一个是新的方格，而且必须是2n个方格包围。有些逻辑函数的结果，与其某些变量组合的取值无关，这些变量组合的项称为无关项，约束项、任意项等。这些无关项的值可以为1，也可以为0，也不影响逻辑结果。利用这些项，可以使函数化的更加简单。 例19-9一个逻辑电路的输入信号是ABCD，并为8421BCD码，当输入ABCD取值为0和偶数时输出为1，其它情况输出为0，试求该逻辑函数式。解：根据题意，将函数值直接填入卡诺图中，图中×是表示该项是无关项。结合包围圈后结果为：