4-6_函数的凸凹性与函数作图

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1、函数曲线除了有升有降之外,还有不同的弯曲方向,如何根据函数本身判断函数曲线的弯曲方向呢？4-6函数的凸凹性与函数作图1.函数的凸凹性函数的凸(向上凸)凹(向下凸)性定义设在上可导,若对于每一点,都有则称在是凸的;则称在是凹的.(曲线弧总是在它的切线的下方)(曲线弧总是在它的切线的上方)曲线的凹凸性定义设f(x)在区间I上连续对I上任意两点x1x2如果恒有那么称f(x)在I上的图形是凹的那么称f(x)在I上的图形是凸的如果恒有观察与思考:f(x)的图形的凹凸性与f(x)的单调性的关系.1)f(x)的图形是凹的2)f(x)

2、的图形是凸的f(x)单调增加;f(x)单调减少.定理(曲线凹凸性的判定法)设f(x)在[ab]上连续在(ab)内具有二阶导数.若在(ab)内f(x)>0则f(x)在[ab]上的图形是凹的若在(ab)内f(x)<0则f(x)在[ab]上的图形是凸的例判断曲线yx3的凹凸性解y3x2y6x由y0得x0.因为当x<0时y<0所以曲线在(0]上是凸的因为当x>0时y>0所以曲线在[0)上是凹的定理(曲线凹凸性的判定法)设f(x)在[ab]上连续

3、在(ab)内具有二阶导数.若在(ab)内f(x)>0则f(x)在[ab]上的图形是凹的若在(ab)内f(x)<0则f(x)在[ab]上的图形是凸的拐点连续曲线yf(x)上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点定理如果在　的左右两侧异号,则是拐点.在拐点　　　　处不存在.拐点是　　　的拐点，设　　　在　内有连续的二阶导数,若点则讨论曲线yx4是否有拐点？例解二阶导数无零点;当x0时,二阶导数不存在因为当x<0时y>0当x>0时y<0所以点(00)是曲线的拐点只有f(x0)等于

4、零或不存在,(x0,f(x0))才可能是拐点.如果在x0的左右两侧f(x)异号,则(x0,f(x0))是拐点.虽然y(0)0,但(0,0)不是拐点.yOxy=x4例求曲线y3x44x31的拐点及凹、凸的区间解(1)函数y3x44x31的定义域为()(4)列表判断在区间(0]和[2/3)上曲线是凹的;在区间[02/3]上曲线是凸的点(01)和(2/311/27)是曲线的拐点(0)0(02/3)2/3(2/3)＋－＋00111/27y(x)y(x)x只有f

5、(x0)等于零或不存在,(x0,f(x0))才可能是拐点.如果在x0的左右两侧f(x)异号,则(x0,f(x0))是拐点.例求曲线y3x44x31的拐点及凹、凸的区间只有f(x0)等于零或不存在,(x0,f(x0))才可能是拐点.如果在x0的左右两侧f(x)异号,则(x0,f(x0))是拐点.在区间(0]和[2/3)上曲线是凹的;在区间[02/3]上曲线是凸的点(01)和(2/311/27)是曲线的拐点渐近线2.函数作图证此时　　为水平渐近线；若若当　或(或)时或，此时　　　为垂直渐近线

6、．定理3设函数在上有定义,则直线是当时之渐近线函数作图的一般步骤利用函数特性描绘函数图形.第一步第二步第三步第四步确定函数图形的水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势;列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:不存在拐点极值点间断点小结函数图形的描绘是函数导数特性的综合应用.最大值最小值极大值极小值拐点凹的凸的单增单减M1M2N1N2观察曲线的弯曲线程度与切线的关系：*4-7曲线的曲率一条曲线的弯曲程度可以根据它在单位长度内切线转过的角度的大小来表达.CM0MMDs))sxyO设曲线C是光滑的，曲线线C上从点M到点

7、M的弧长为Ds切线的转角为．设　　　　在　　上连续，且在　　内有二阶导数．曲线弧　　上任一点　　　　处的切线与轴的夹角定义:曲线的曲率所以曲线弧　　上　　　　处的曲率Ｋ为时，称　　为曲线在该点处的曲率半径．曲线在M点的曲率中心y=f(x)xyODr曲线在M点的曲率半径曲线在M点的曲率圆M