函数的凸凹性与函数作图

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1、函数曲线除了有升有降之外,还有不同的弯曲方向,如何根据函数本身判断函数曲线的弯曲方向呢？4-6函数的凸凹性与函数作图1.函数的凸凹性函数的凸(向上凸)凹(向下凸)性定义设在上可导,若对于每一点,都有则称在是凸的;则称在是凹的.(曲线弧总是在它的切线的下方)(曲线弧总是在它的切线的上方)几何意义：曲线弧总是在它的切线的下方，曲线弧总是在它的切线的上方.定理1(曲线凹凸性的判定法)设f(x)在(ab)内具有二阶导数,对于每一点若在(ab)内f(x)<0则f(x)在(ab)上的图形是凸的若在(ab)内f(x)>0则f(x)在(ab)上的图形是凹的证

2、若在(ab)内f(x)<0则若在(ab)内f(x)>0则证毕.例1研究函数的凹凸区间.解于是当解得根据定理1，拐点连续曲线yf(x)上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点定理２是　　　的拐点，设　　　在　内有连续的二阶导数,若点则证用反证法.补例判断曲线的凹凸性.解故曲线在上是向上凹的.说明:1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在两侧异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,拐点拐点在拐点　　　　处不存在.如果在　的左右两侧异号,则是拐点.补例求曲线的拐点.解不

3、存在因此点(0,0)为曲线的拐点.凹凸补例求曲线的凹凸区间及拐点.解1)求2)求拐点可疑点坐标令得对应3)列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸,点(0,1)及均为拐点.凹凹凸思考题：2.函数作图1.确定函数的定义域,期性;2.求并求出及3.列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点;4.求渐近线以及其他变化趋势；为0和不存在的点,并考察其对称性及周步骤:用这些点把函数的定义域化分成几个部分区间;5.算出的零点以及不存在的点所对应的函数值定出图形上相应的点；确定某些特殊点,描绘函数图形.无渐近线.点M与某一直线L的距离趋于0,曲线的渐近线定义.若曲线C上的点M沿着曲线无限地

4、远离原点时,则称直线L为曲线C的渐近线.例如,双曲线有渐近线但抛物线或为“纵坐标差”1.水平与铅直渐近线若则曲线有水平渐近线若则曲线有垂直渐近线例求曲线的渐近线.解为水平渐近线;为垂直渐近线.设函数在上有定义,则直线是当时之渐近线定理32.斜渐近线若当　或(或)时或，此时　　　为垂直渐近线．此时　　为水平渐近线；若斜渐近线若证例2求曲线的渐近线.解所以有铅直渐近线及又因为曲线的斜渐近线.例3描绘的图形.解1)定义域为2)求关键点3)判别曲线形态(极大)(极小)无定义4)求渐近线为铅直渐近线又因即为斜渐近线5)求特殊点6）绘图斜渐近线铅直渐近线特殊点(极大)(极小)无定

5、义补例描绘的图形.解1)定义域为无对称性及周期性.2)3)(极大)(拐点）(极小)4)5）变化趋势M1M2N1N2观察曲线的弯曲线程度与切线的关系：*4-7曲线的曲率一条曲线的弯曲程度可以根据它在单位长度内切线转过的角度的大小来表达.CM0MMDs))sxyO设曲线C是光滑的，曲线线C上从点M到点M的弧长为Ds切线的转角为．设　　　　在　　上连续，且在　　内有二阶导数．曲线弧　　上任一点　　　　处的切线与轴的夹角定义:曲线的曲率所以曲线弧　　上　　　　处的曲率Ｋ为时，称　　为曲线在该点处的曲率半径．曲线在M点的曲率中心y=f(x)xyODr曲线在M点的曲率半径曲线

6、在M点的曲率圆M习题4-51.2.4.5.7.第四章总练习题6.7.15.18.19.23.24.(1),(3).