函数的凸凹性与拐点

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1、§5函数的凸性与拐点教学目的与要求：掌握凸函数凹函数的定义掌握可导函数为凸函数的充要条件掌握拐点的定义掌握判断函数拐点的必要条件和充分条件教学重点，难点：可导函数为凸函数的充要条件拐点的判别方法教学内容：作函数的图形时，仅知道函数单调性是不够的，还应知道其曲线弯曲的情形，即曲线凹凸的概念,读者已经熟悉函数和的图象。它们不同的特点是：曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方；而曲线则相反，任意两点间的弧段总在这两点连线的上方，我们把具有前一种特性的曲线称为凸的，相应的函数称为凸函数：后一种曲线称为凹的，相应的函数称为凹函数。定义1设为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点和任意实数总有

2、（1）则称为上的凸函数.反之，如果总有（2）则称为上的凹函数。如果（1）、（2）中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数。图6-12中的（a）和(b)分别是凸函数和凹函数的几何形状，其中。容易证明：若为区间I上的凸函数，则为区间I上的凹函数，因此今后只需讨论凸函数的性质即可。引理为上的凸函数的充要条件是：对于I上的任意三点，总有（3）(析)必要性要证(3)式成立,需证即.记，则，由的凸性易知上式成立.充分性在I上任取两点在上任取一点·即，由必要性的推导逆过程，可证得,故为上的凸函数。□注同理可证，为上的凸函数的充要条件是：对于上任意三点，有（4）定理6.13设为区

3、间上的可导函数，则下述论断互相等价：为I上凸函数；为I上的增函数；对I上的任意两点，有（5）(析)要证为I上的递增函数,只需任取上两点及充分小的正数，证明成立,由是可导函数，令时便可得结论.由于，根据的凸性及引理有.在以为端点的区间上，应用拉格朗日中值定理和递增条件，有移项后即得（5）式成立，且当时仍可得到相同结论设以为I上任意两点，。由，并利用与，，分别用和乘上列两式并相加，便得从而为I上的凸函数。□注1论断的几何意义是：曲线总是在它的任一切线的上方（图6-14）。这是可导凸函数的几何特征。对于凹函数，同样有类似于定理6.13的结论。定理6.14设为区间I上的二阶可导函数，则在I上为凸

4、（凹）函数的充要条件是这个定理的结论可由定理6.3和定理6.13推出。注2一般地说，函数可能在它的定义域里的某些区间是凹的，在另一些区间是凸的，这样的区间称为函数的凹凸区间,讨论函数的凹凸区间，关键是找出凹凸区间的分界点,由上述定理知，二阶导数在其两侧异号的点——二阶导数为零的点、不连续的点和一阶、二阶导数不存在的点都是可能凹凸区间的分段点,例1讨论函数的凸(凹)性区间.解由于，因而当时，时。从而在上为凸函数，在上为凹函数。□例2若函数为定义在开区间（a,b）内的可导的凸（凹）函数，则为的极小（大）值点的充要条件是为的稳定点，即。证下面只证明为凸函数的情形。必要性已由费马定理给出，现在证

5、明充分性。由定理6.13，任取（a,b）内的一点，它与一起有因为，故对任何总有即为在内的极小值点（而且为最小值点）。□下面的例子是定义1的一般情况例3(詹森（Jensen）不等式)若为上凸函数，则对任意有（6）证应用数学归纳法，当时，由定义1命题显然成立，设时命题成立，即对任意及，都有现设及令则由数学归纳法假设可推得=。这就证明了对任何正整数，凸函数总有不等式（8）成立。□例4证明不等式，其中，均为正数。证设由的一阶和二阶导数可见，时为严格凸函数，依詹森不等式有从而即又因所以。□例5设为开区间I内的凸（凹）函数，证明在I内任一点都存在左、右导数。证下面只证凸函数在存在右导数，同理可证也存

6、在左导数和为凹函数的情形。设，则对（这里取充分小的，使），由引理中的（4）式有令故由上式可见F为增函数，任取且，则对任何，只要，也有由于上式左端是一个定数，因而函数在上有下界。根据定理3.10极限存在，即存在。注由例5易知开区间I内的凸（凹）函数一定处处连续从几何上看，研究曲线的形态变化时，其函数凹、凸区间的分界点十分重要，我们称之为拐点,下面给出拐点的精确定义.定义2设曲线在点处有穿过曲线的切线，且在切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的，这时称点为曲线的拐点。由定义可见，拐点正是凸和凹曲线的分界点，如图6-15中的点M。例1中的点（0，0）为的拐点。容易验证：正弦曲线有拐点

7、为整数。读者容易证明下述两个有关拐点的定理。定理6.15若在二阶可导，则为曲线的拐点的必要条件是定理6.16　设在可导，在某邻域内二阶可导．若在和上的符号相反，则为曲线的拐点．注1若是曲线的一个拐点，在的导数不一定存在．请考察函数在的情况．注2与函数的极值点不同，拐点是从几何角度定义的，是平面上的点，必须用两个坐标来表示,注3曲线的拐点就是凹凸区间的分界点,因此应在使得和二阶不可导点所对应的曲线上的点中找拐点,注4设在的某邻域内有三