定积分的应用(几何上应用)

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1回顾曲边梯形求面积的问题abxyo定积分的微元法第六章定积分的应用 2求曲边梯形面积的步骤： 3abxyo 4 5元素法的一般步骤：这个方法通常叫做元素法．应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等． 61、直角坐标系情形曲边梯形的面积第一节定积分在几何上的应用 7曲边梯形的面积如果图形是由两条曲线围成 8一般地设两条连续曲线与直线所围平面图形面积为A,则 9解两曲线的交点 10解两曲线的交点选为积分变量 11于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式．问题：积分变量只能选吗？ 12 13解两曲线的交点选为积分变量 14如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积 15解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积． 16例5.求由摆线的一拱与x轴所围平面图形的面积.解:令 17 18 192、极坐标系情形 20曲边扇形的面积2)、极坐标系下求面积、设平面图形由曲线及射线所围成，求其面积。。 21解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积 22解利用对称性知例9求心形线(a>0)所围图形的面积。 23 24 25二、平面曲线弧长 26弧长元素弧长1、直角坐标情形 27解所求弧长为 28解 29曲线弧为弧长2、参数方程情形 30解星形线的参数方程为根据对称性第一象限部分的弧长 31证 32根据椭圆的对称性知故原结论成立. 33曲线弧为弧长3、极坐标情形 34解 35解 36旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台1、旋转体的体积 37旋转体的体积为 38解直线方程为 39 40解 41 42 43 44 45解 46 47 48解体积元素为 49 502、平行截面面积为已知的立体的体积 51解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积 52解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积 53垂直轴的截面是椭圆例10.计算椭球面所围立体(椭球)的体积.解:它的面积为因此椭球体体积为特别当a=b=c时就是球体体积. 54 55 563、旋转体的侧面积对于旋转体的侧面积，在小区间上用圆周长与弧长微元的乘积作为部分量的近似值侧面积的微元图6－16 57于是，旋转体的侧面积若光滑曲线由参数方程给出,则它绕x轴旋转一周所得旋转体的侧面积为 58例1.计算圆x轴旋转一周所得的球台的侧面积S.解:对曲线弧应用公式得当球台高h＝2R时,得球的表面积公式 59例2.求由星形线一周所得的旋转体的表面积S.解:利用对称性绕x轴旋转星形线目录上页下页返回结束 1、求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）四、小结直角坐标系下参数方程情形下极坐标系下2、求弧长的公式 61613、旋转体的体积绕轴旋转一周绕非轴直线旋转一周绕轴旋转一周4、平行截面面积为已知的立体的体积5、旋转体的侧面积 62习题与思考题621.用定积分表示图中阴影部分的面积A及边界长s.提示:交点为弧线段部分直线段部分以x为积分变量,则要分两段积分,故以y为积分变量. 63解答：xyo 64积分得所以所求曲线为两边同时对求导 65解答：交点立体体积 66664、求位于曲线与直线y=2围成的x=0到x=2的一块平面图形，绕y轴旋转所产生的旋转体体积Vy。解先求簿圆柱壳体的体积其高从 67675、试用定积分求圆绕x轴上半圆为下求体积:提示:方法1利用对称性旋转而成的环体体积V及表面积S. 6868方法2用柱壳法说明:上式可变形为上半圆为下此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示). 69695、求曲线所围图形的面积.显然面积为同理其它.又故在区域解：